算法学习-循环染色方案

题目

用红、蓝两种颜色将围成一圈的8个旗子染色。规定：若某两种染色方案通过旋转的方式可以重合，则只算一种。问：一共有多少种不同的染色方案？

问题分析

用0/1表示颜色方案，8个棋子对应8位二进制数。

”旋转重合则只算一种”即：将x循环左移以为得y，则x和y属于相同类别（等价类）：

若y<x，则删除x；

若y>x，则删除y；

该算法借鉴求素数的筛法

由于每个方案只需要计算1次，时间复杂度为O（N）

棋子数目记为n，则N=2的n次方

除了全0和全1以外，所有偶数都是重复的，所有最高位为1都是重复的，根据这两个结论可以适当优化。

代码如下

// 循环左移一位
int RotateShiftLeft(int x, int N)
{
	int hight = (x >> (N - 1));
	x &= ((1<<(N - 1)) - 1);
	x <<= 1;
	x |= hight;
	return x;
}

int Polya(int N, std::list<int>& answer)
{
	int i, j;
	int k1, k2;
	int m = (1 << N);
	int* p = new int[m];  // 记录每种方案
	fill(p, p + m, 1);
	for (i = 0; i < m; i++)  // 遍历所有染色方案
	{
		for (p[i] == 1)   // 尚未删掉
		{
			k1 = i;
			for (j = 0; j <= N; j++)
			{
				k2 = RotateShiftLeft(k1, N);
				if (k2 == i)  // 说明完成了循环
				{
					break;
				}
				if (k2 > i)  // 后面的k2无效
				{
					p[k2] = 0
				}
				else // if (k2 < i)
				{
					p[i] = 0;  // i无效
					break;     // 前面必然便利过
				}
				k1 = k2;
			}
		}
	}
	for (i = 0; i < m; i++)
	{
		if (p[i] == 1)
			answer.push_back(i);
	}
	delete[] p;
	return (int)answer.size();
}