剑指 Offer 51. 数组中的逆序对

最新推荐文章于 2023-10-06 10:30:00 发布

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原文链接：https://leetcode-cn.com/problems/shu-zu-zhong-de-ni-xu-dui-lcof/solution/shu-zu-zhong-de-ni-xu-dui-by-leetcode-solution/

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#算法 #排序算法 #leetcode

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本文介绍了一种利用归并排序算法高效计算数组中逆序对总数的方法。通过详细解析归并过程中如何统计逆序对，辅以具体示例说明，使读者能够深入理解该算法的设计思想。

题目与题解均转载自leetcode

题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。

示例 1:

输入: [7,5,6,4]
输出: 5

题解

题解转载自krahets
方法：归并排序

预备知识

「归并排序」是分治思想的典型应用，它包含这样三个步骤：
分解： 待排序的区间为 [l,r]我们把 [l,r] 分成 [l,m] 和 [m+1,r]
解决： 使用归并排序递归地排序两个子序列
合并： 把两个已经排好序的子序列 [l,m] 和 [m+1,r] 合并起来在待排序序列长度为 1 的时候，递归开始「回升」，因为我们默认长度为 1 的序列是排好序的。

思路

那么求逆序对和归并排序又有什么关系呢？关键就在于「归并」当中「并」的过程。我们通过一个实例来看看。假设我们有两个已排序的序列等待合并，分别是 L={8,12,16,22,100} 和 R={9,26,55,64,91}。一开始我们用指针 lPtr = 0 指向 L 的首部，rPtr = 0 指向 R 的头部。记已经合并好的部分为 M。

L = [8, 12, 16, 22, 100]   R = [9, 26, 55, 64, 91]  M = []
     |                          |
   lPtr                       rPtr

我们发现 lPtr 指向的元素小于 rPtr 指向的元素，于是把 lPtr 指向的元素放入答案，并把 lPtr 后移一位。

L = [8, 12, 16, 22, 100]   R = [9, 26, 55, 64, 91]  M = [8]
        |                       |
      lPtr                     rPtr

这个时候我们把左边的 8 加入了答案，我们发现右边没有数比 8 小，所以 8 对逆序对总数的「贡献」为 0。
接着我们继续合并，把 9 加入了答案，此时 lPtr 指向 12，rPtr 指向 26。

L = [8, 12, 16, 22, 100]   R = [9, 26, 55, 64, 91]  M = [8, 9]
        |                          |
       lPtr                       rPtr

此时 lPtr 比 rPtr 小，把 lPtr 对应的数加入答案，并考虑它对逆序对总数的贡献为 rPtr 相对 R 首位置的偏移 1（即右边只有一个数比 12 小，所以只有它和 12 构成逆序对），以此类推。

我们发现用这种「算贡献」的思想在合并的过程中计算逆序对的数量的时候，只在 lPtr 右移的时候计算，是基于这样的事实：当前 lPtr 指向的数字比 rPtr 小，但是比 R 中 [0 … rPtr - 1] 的其他数字大，[0 … rPtr - 1] 的其他数字本应当排在 lPtr 对应数字的左边，但是它排在了右边，所以这里就贡献了 rPtr 个逆序对。

算法流程：

merge_sort() 归并排序与逆序对统计：

终止条件：当 l≥r 时，代表子数组长度为 1 ， 此时终止划分；
递归划分：计算数组中点 m ，递归划分左子数组 merge_sort(l, m) 和右子数组 merge_sort(m + 1, r) ；
合并与逆序对统计：
暂存数组 nums 闭区间 [i,r] 内的元素至辅助数组 tmp ；
循环合并：设置双指针 i , j 分别指向左 / 右子数组的首元素；
当 i=m+1 时：代表左子数组已合并完，因此添加右子数组当前元素 tmp[j] ，并执行 j=j+1 ；
否则，当 j=r+1 时：代表右子数组已合并完，因此添加左子数组当前元素 tmp[i] ，并执行 i=i+1 ；
否则，当 tmp[i]≤tmp[j] 时：添加左子数组当前元素 tmp[i] ，并执行 i=i+1；
否则（即 tmp[i]>tmp[j]）时：添加右子数组当前元素 tmp[j] ，并执行 j=j+1 ；此时构成 m−i+1 个「逆序对」，统计添加至 res ；
返回值：返回直至目前的逆序对总数

reversePairs() 主函数：
初始化：辅助数组 tmp ，用于合并阶段暂存元素；
返回值：执行归并排序 merge_sort() ，并返回逆序对总数即可；

利用这个思路，我们可以写出如下代码。

class Solution {
    int[] nums, tmp;
    public int reversePairs(int[] nums) {
        this.nums = nums;
        tmp = new int[nums.length];
        return mergeSort(0, nums.length - 1);
    }
    private int mergeSort(int l, int r) {
        // 终止条件
        if (l >= r) return 0;
        // 递归划分
        int m = (l + r) / 2;
        int res = mergeSort(l, m) + mergeSort(m + 1, r);
        // 合并阶段
        //i,j分别为指向左右数组的指针
        int i = l, j = m + 1;

        for (int k = l; k <= r; k++)
            tmp[k] = nums[k];

        for (int k = l; k <= r; k++) {
            //i==mid+1代表指向左数组的指针已经越界指向了右数组，左数组已经全部放入新数组中
            //此时将右数组中剩余的元素依次放入nums数组中,且此后不会产生新的逆序对
            if (i == m + 1)
                nums[k] = tmp[j++];
            //右数组指针越界，右数组已经全部放入新数组中||左指针指向的数小于右指针指向的数
            else if (j == r + 1 || tmp[i] <= tmp[j])
                nums[k] = tmp[i++];
            else {//tmp[i]>tmp[j]
                //此时temp[i:mid]与temp[j]之后的数字均构成逆序对
                nums[k] = tmp[j++];
                // 统计逆序对
                //每轮新增的逆序对个数-1
                res += m - i + 1; 
            }
        }
        return res;
    }
}

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