（中心城市）利用上三角矩阵求中心城市问题

利用上三角矩阵求中心城市问题

问题描述

在一个二维坐标系当中，给出n个城市坐标。现在需要选出一个城市作为中心城市，要求此城市到所有城市的距离和最短。

解决思路

1. 求出所有城市之间的距离。
2. 求出每一个城市到其他城市的距离的和。
3. 通过比较距离和，选出一个距离和最小的城市作为中心城市。
4. 本文章使用Java实现。

考虑优化

1. 希望对于求每两个城市之间的距离，只计算一次，只花费一个区域进行存储。
2. 不希望有空间被创建出来而没有使用。

想要保存城市之间的距离，我首先想到的就是通过2维数组保存，即：(假设所有城市之间的距离都是1)

	a	b	c	d	e
a	0	1	1	1	1
b	1	0	1	1	1
c	1	1	0	1	1
d	1	1	1	0	1
e	1	1	1	1	0

可以看出这么做虽然代码计算方便，但是资源被极大的浪费了。对于每两个城市之间的距离，需要计算两次，并且花费两个空间来进行保存。
我发现该矩阵是一个对称矩阵，于是进行了优化，选用上三角矩阵来存。

	a	b	c	d	e
a	0	1	1	1	1
b	0	0	1	1	1
c	0	0	0	1	1
d	0	0	0	0	1
e	0	0	0	0	0

优化完后发现，虽然计算次数少了一次，但是还是白白浪费了很多的空间。于是我想到，用一个一维数组，只保存有值的空间。之后便写了一个将上三角矩阵（并且对角线上的0也去掉了）映射到一维数组的表达式：

/**
 * 获取上三角矩阵的一位数组映射地址
 *
 * @param i      行号
 * @param j      列号
 * @param number 方阵大小
 * @return 地址
 */
public static int getPosition(int i, int j, int number) {
    if (i < j)
        //return (((number - 1) + (number - 1 - (i - 1))) * i / 2) + (j - i) - 1;
        return ((number + number - i - 1) * i / 2) + (j - i) - 1;
    else
        return 0;
}

有了这个函数，就可以放心的用getPosition(i, j, n)在一个一维数组上访问一个去掉了对角线的上三角矩阵。

程序实现

ok，现在现在优化的两个希望都已经实现了。开始完善后续代码。

求两个城市之间距离的函数

public static double getDistance(double[] c1, double[] c2) {
    return Math.sqrt((c1[0] - c2[0]) * (c1[0] - c2[0]) + (c1[1] - c2[1]) * (c1[1] - c2[1]));
}

主函数

public static void main(String[] args) {
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    int number = in.nextInt();//城市个数
    if (number <= 0) {
        System.out.println("Error!");
        return;
    }
    double[][] citys = new double[number][2];
    for (int i = 0; i < number; i++) {
        citys[i][0] = in.nextDouble();
        citys[i][1] = in.nextDouble();
    }
    //创建一个上三角矩阵，记录距离减少计算次数，减少内存消耗
    double[] numbers = new double[number * (number - 1) / 2];
    for (int i = 0; i < number - 1; i++) {
        for (int j = i + 1; j < number; j++) {
            numbers[getPosition(i, j, number)] = getDistance(citys[i], citys[j]);
        }
    }
    double minDistance = 0;
    double temp = 0;
    int city = 0;
    boolean isFirst = true;
    for (int i = 0; i < number; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            temp += numbers[getPosition(j, i, number)];
        }
        for (int j = i + 1; j < number; j++) {
            temp += numbers[getPosition(i, j, number)];
        }
        if(isFirst){
            minDistance = temp;
            isFirst = false;
        }
        if (temp < minDistance) {
            minDistance = temp;
            city = i;
        }
        temp = 0;
    }
    System.out.println("(" + citys[city][0] + ", " + citys[city][1] + ")");
    //System.out.println(minDistance);
    System.out.format("%.2f",minDistance);
}