Leetcode算法——11、容量最大的容器

题目

给定 $n$ 个非负整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，每个整数对应一个坐标为 $(i,a_i)$ 的点。这样形成了 $n$ 条竖直的线段，线段的两个端点分别为 $(i,a_i)$ 和 $(i,0)$。

要求找到两条线段当做两个挡板，使得他们与 x 轴组成的容器可以盛最多的水，并输出最大容量。

示例：
输入: [1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出: 49
解释: 在第2根线（8）与最后一根线（7）之间的容量最大，容量为 $min(8,7)\ast 7=49$。

思路

1、暴力算法

最容易想到的算法为暴力算法，即编写一个双重循环，遍历所有不同两根线段，计算线段间的容量，选出最大容量。

这时候算法复杂度为 $O(n^2)$。

2、逼近法

定义两个指针，分别指向最左边的线段和最右边的线段，然后逐渐将两个指针往中间移动，每次移动后计算一边当前的容量，然后选择其中最大的容量。但是这样做不会遍历所有不同的两根线段，如何保证一定会遍历到最大容量的两根线段呢？

策略是，每次移动时，将左右指针的两根线段中的较短的线段，往中间移动一位。

为什么要这样做？因为容器的容量，是由两根线段中较短的那根决定的，改变短线段可以改变容量。

严格的证明：

图示是很多线段中的一部分，不失一般性地，比如某一次迭代之后，左右指针已经移动到了 $l$ 和 $r$ 的位置（即蓝色轮廓），下一步该选择是 $l$ 向右移动一位，还是 $r$ 向左移动一位。

假如我们最后的答案是 $a$ 和 $b$ 之间的容量是最大的（即红色线段），其中 $b$ 和 $r$ 是同一个线段。如果 $l$ 能一直向右移动，直至和 $a$ 重合，那么说明算法成功，找到了最大容量的 $ab$ 线段。

那么有没有可能出现 $r$ 向左移动一位，导致 $r$ 位于 $a$ 和 $b$ 之间呢？如果这样，那么之后无论再怎么移动，都不可能找到最优解 $ab$ 了，算法也就失败了。

结论是：$r$ 不可能位于 $a$ 和 $b$ 之间。

可以用反证法证明：

假如下一步是 $r$ 向左移动一位，那么根据移动策略，现在必然有 $l$ 的高度大于 $r$ 的高度，才会使得 $r$ 左移。这样，一定会有 $l$ 和 $b$ 组成的容量大于 $a$ 和 $b$ 组成的容量，因为：

$V(l,b)=(b-l)\ast min(l,b)=(b-l)\ast h(b)$
$V(a,b)=(b-a)\ast min(a,b)\le (b-a)\ast h(b)$

而 $l$ 在 $a$ 左边，距离 $b$ 的距离更远，因此有：

$V(a,b)<V(l,b)$

其中，$V$ 表示容量，$h$ 表示高度。

这和 $ab$ 是最大容量相矛盾。因此，逼近法是有效的，肯定会找到正确答案。

逼近法的时间复杂度为 $O(n)$。

python实现

def maxArea(height):
    """
    :type height: List[int]
    :rtype: int
    从两边往中间寻找。
    """

    max_area = 0
    l = 0
    r = len(height) - 1
    while(l < r):
        max_area = max(max_area, min(height[l], height[r]) * (r - l))
        if height[l] < height[r]:
            l += 1
        else:
            r -= 1
    return max_area

if '__main__' == __name__:
    height = [1,8,6,2,5,4,8,3,7]
    print(maxArea(height))