《算法导论》学习笔记——第4章 分治策略

第4章 分治策略

4.1 最大子数组问题

股票价格

天	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
价格	100	113	110	85	105	102	86	63	81	101	94	106	101	79	94	90	97
变化		13	-3	-25	20	-3	-16	-23	18	20	-7	12	-5	-22	15	-4	7

要求最大收益，但是不是简单的在最低价格买进，或在最高价格卖出。

暴力求解法

简单的尝试每对可能的买进迈出日期组合，只要卖出日期在买入日期之后即可。n天一共有种日期组合。

问题变换

我们从一个稍微不同的角度来看待输入数据。我们的目的是寻找一段日期，使得第一天到最后一天的股票价格净变化值最大。因此，我们不再从每日价格的角度去看待输入数据，而是考察每日价格变化，第i天的价格变化定义为第i天和第i-1天的价格差。那么这个问题就转换为寻找数组A的和最大的非空连续子数组。我们称这样的连续子数组为最大子数组。

13

-3

-25

20

-3

-16

-23

18

20

-7

12

-5

-22

15

-4

7

接下来找更高效的解法，注意只有当数组有负值的时候，最大子数组问题才有意义。

使用分支策略来解决

假定我们要寻找的数组A[low...high]的最大子数组，使用分治技术意味着我们要将子数组划分为两个规模尽量相等的子数组。也就是说，找到子数组的中间位置，比如mid，考虑求解两个子数组A[low...mid]，A[mid+1...high]。A[low...high]的任何连续子数组A[i...j]所处的位置必然是以下三种情况之一：

1. 完全位于子数组A[low...mid]中，因此low<=i<j<=mid。
2. 完全位于子数组A[lmid+1...high]中，mid<=i<j<=high。
3. 跨越了中点，因此low<=i<=mid<j<=high。

我们接下来做的就是在这三个情况中选取最大者。我们可以很容易在线性时间内求出跨越重点的最大子数组，此问题并非原问题规模更小的实例，因为它加了限制——求出的子数组必须跨越中点，因此我们只要找到形如A[i...mid]和A[mid...j]的最大子数组，然后合并即可。伪代码如下：

//找到跨越中点的最大子数组
left-sum=0;
sum=0;
for i = mid to low
    sum = sum +A[i]
    if sum > left-sum
        left-sum = sum
        max-left = i
right-sum=*
sum=0
for j = mid+1 to high
    sum = sum +A[j]
    if sum > right-sum
        max-right = sum
        max-right = j
return (max-left , max-right , left-sum + right-sum)

上面的伪代码是线性时间的，因此我们就可以设计求解最大子数组问题的分治算法的伪代码了：

FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,low,high)
if high == low
    return(low,high,A[low])
else mid = (low + high)/2
    (left_low,left_high,left_sum) =
      FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,low,mid);
    (right_low,right_high,right_sum) =
      FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A,mid+1,high);
    (cross_low,cross_high,cross_sum) =
      FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A,low,mid,high);
    
    if left_sum >= left_sum and left_sum>=cross_sum
       return(left_low,left_high,left_sum)
    elseif right_sum >= left_sum and right_sum>=cross_sum
       return(right_low,right_high,right_sum)
    else
       return(cross_low,cross_high,cross_sum)