24点游戏

24点是一种老少皆宜的游戏，它的具体玩法如下：

给玩家4张牌，每张牌的面值都在1---13之间，允许其中有数值相同的牌。采用加、减、乘、除四则运算，允许中间运算存在小数，并且可以使用括号，但每张牌只能使用一次，尝试构造一个多项式，使其运算结果为24.

输入：n1，n2，n3，n4。

输出：若能得到运算结果为24，则输出一个对应的计算表达式。

输入：11，8，3，5

输出：(11-8)*(3+5) = 24

分析与解法

最直接的想法就是采用穷举法，因为运算符号只有4种，每个数字只能使用一次，所以通过穷举4个数所有可能的表达式，并分别计算出各表达式的值，就可以得到答案。那么如何穷举所有可能的表达式呢？

先不考虑使用括号，可以做出如下分析：

每个数只能使用一次，对4个整数进行全排列，总共有4!=4*3*2*1=24中排列。4个数的四则运算中总共需要3个运算符，同一运算符可以重复出现，那么对于每一个排列，总共可有4*4*4中表达式。因此在不考虑括号的情况下，总共可以得到4!*4*4*4=1536中表达式。

接下来再考虑加上括号后的情况，对于4个数而言，总共会有以下5种加括号的方式：

(A(B(CD)))、(A((BC)D))、((AB)(CD))、((A(BC))D)、(((AB)C)D)。

所以需要遍历的表达式数最多有4!*4*4*4*5=7680种。即使采用逆波兰表达式，其总数也不变。

通过上面的分析，得到了一种解24点的基本思路，即遍历运算符、数字和括号的所有排列组合形式，接下来，我们将更加细致地讨论这种解法的一个具体实现。

假设给定的4个数组成的集合为A={1,2,3,4}，定义函数f(A)为对集合A中的元素进行所有可能的四则混合运算所得到的值。

首先从集合A中任意取出两个数，如取出1和2，A=A-{1,2}，对取出来的数分别进行不同的四则运算，1+2=3,1-2=-1,1/2=0.5,1*2=2，将得到的结果再分别加入集合A，可得到B={3,3,4}，C={-1,3,4}，D={0.5,3,4}，E={2,3,4}四个新的集合，那么f(A)= f(B)+f(C)+f(D)+f(E)，通过以上的计算就达到了分而治之的目的，问题规模就从4个数降到了3个数，成了3个数的4个子问题之和。综上所述，可以得到递归解法如下：

将给定的4个数放入数组Array中，将其作为参数传入函数f中，伪代码如下所示：

f(Array)
{
	if(Array.Length < 2)
	{
		if(得到的最终结果为)
			输出表达式
		else   输出无法构造符合要求的表达式
	}
	foreach(从数组中任取两个数的组合)
	{
		foreach(运算符(+, -, *, /))
		{
			1、计算该组合在此运算符下的结果
			2、将该组合中的两个数从原数组中移除，并将步骤的计算结果放入数组
			3、对新数组递归调用f。如果找到一个表达式则返回
			4、将步骤的计算结果移除，并将该组合中的两个数重新放回数组中对应的位置
		}
	}
}

具体代码如下所示：

#include "iostream"
#include "cmath"
#include "string"
using namespace std;

const double Threshold = 1E-6;      //容差值
const int CardsNumber = 4;
const int ResultValue = 24;
double number[CardsNumber];         //输入的4个整数
string result[CardsNumber];         //保存表达式

bool PointsGame(int n)
{
	if(n == 1)
	{
		//由于浮点数运算会有精度误差，所以用一个很小的数1E-6来做容差值
		if(fabs(number[0] - ResultValue) < Threshold)
		{
			cout << result[0] << " == 24" << endl;
			return true;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		for(int j = i + 1; j < n; j++)     //从数组中任取两个数的组合
		{
			double a, b;
			string expa, expb;

			a = number[i];
			b = number[j];
			number[j] = number[n-1];     //任取两个数并将其结果放入数组后，原数组的个数减少一个

			expa = result[i];            //保存表达式中的数字
			expb = result[j];
			result[j] = result[n-1];

			result[i] = '(' + expa + '+' + expb + ')';      //任取的两个数在“+”运算符下的结果
			number[i] = a + b;                              //将该运算符下的运算结果放入数组中
			if(PointsGame(n - 1))
				return true;

			result[i] = '(' + expa + '-' + expb + ')';      //任取的两个数在“-”运算符下的结果
			number[i] = a - b;
			if(PointsGame(n - 1))
				return true;

			result[i] = '(' + expb + '-' + expa + ')';      //任取的两个数在“-”运算符下的结果
			number[i] = b - a;
			if(PointsGame(n - 1))
				return true;

			result[i] = '(' + expa + '*' + expb + ')';      //任取的两个数在“*”运算符下的结果
			number[i] = a * b;
			if(PointsGame(n - 1))
				return true;
			if(b != 0)
			{
				result[i] = '(' + expa + '/' + expb + ')';  //任取的两个数在“/”运算符下的结果
				number[i] = a / b;
				if(PointsGame(n - 1))
					return true;
			}
			if(a != 0)
			{
				result[i] = '(' + expb + '/' + expa + ')';  //任取的两个数在“/”运算符下的结果
				number[i] = b / a;
				if(PointsGame(n - 1))
					return true;
			}
			number[i] = a;    //将刚开始任取的两个数重新放回数组中对应的位置
			number[j] = b;
			result[i] = expa;
			result[j] = expb;
		}
	}
	return false;
}

int main(void)
{
	int i,x;
	for(i = 0; i < CardsNumber; i++)
	{
		char buffer[20];
		cout << "Please input the " << i+1 << "th number:";
		cin >> x;
		number[i] = x;            //保存输入的4个整数的浮点型数组
		itoa(x, buffer, 10);      //把输入的4个整数按10进制转化为字符串
		result[i] = buffer;
	}
	if(PointsGame(CardsNumber) )
	{
		cout << "Success." << endl;
	}
	else
	{
		cout << "Fail." << endl;
	}
	system("pause");
	return 0;
}

运行效果图如下：