大整数运算包的实现（Java）(2) --快速幂取模、最大公约数、乘法逆元、素数判定、生成大素数

最新推荐文章于 2024-01-16 16:07:46 发布

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H_X_P

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文章标签：算法 java

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/H_X_P_/article/details/104110639

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本文介绍了如何使用Java实现大整数的快速幂取模、欧几里得算法求最大公约数、扩展欧几里得算法求乘法逆元、米勒罗宾算法进行素数判定以及生成大素数的方法。通过实例展示了算法的运行结果和效率。

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上一篇博客大整数运算包的实现（Java）(1) --加、减、乘、除、模取余、模加（考虑负数），我们实现了基本的大数加、减、乘、除、取余。这篇博客将基于它们实现大数的快速幂取模、最大公约数、乘法逆元、素数判定以及大素数的生成。

一、快速幂取模

假如我们要计算 2¹⁰⁰ mod 19，最简单的做法是做99次乘法再模上19。
但这样会有两个问题，1、一直做乘法会很消耗时间；2、数最终会变得很大而难以存储
所以我们会使用快速幂取模（类似二元法），这样我们算7次就可以了。

其中我们还会用到下面两个公式，这样我们得到的数就不至于非常大。

   /**
	 * 快速幂取模
	 * @param one  底数
	 * @param two  指数
	 * @param mod  模
	 * @return     结果
	 */
	public static String Power(String one,String two,String mod) {
   
		if(two.equals("0")) {
      //0次幂结果为1
			//System.out.println("Power result=1");
			return "1";
		}else if(two.equals("1")){
      //1次幂结果为它本身
			return Mod(one, mod);
		}
		String count=two,result="1",temp=one;
		while(!count.equals("0")){
   
			if(Mod(count, "2").equals("1"))   //看它二进制最后一位是不是1
				result=Multiply(result, temp, mod);
			if(!count.equals("1"))    //这里避免最后一次做没用的乘法
				temp=Multiply(temp, temp, mod);
			count=Division(count, "2");   //次数减1，相当于二进制右移一位
		}
		//System.out.println(result);
		return result;
	}

运行结果：
2⁵ mod 7 = 4
2¹⁰ mod 13 = 10
2¹⁰⁰ mod 19 = 17
2¹⁰⁰⁰ mod 1777 = 1775
2¹⁰⁰⁰⁰ mod 49999 = 100
2¹⁰⁰⁰⁰⁰ mod 998111 = 802658

二、最大公约数(欧几里得算法)

求最大公约数可以使用欧几里得算法，又称辗转相除法。
现在求 52 和 36 的最大公约数：
在这里插入图片描述
当余数为 0 时，当前算式的除数就是最大公约数。

   /**
	 * 最大公约数
	 * @param one
	 * @param two
	 * @return     结果
	 */
	public static String GCD(String one,String two) {
   
		if(one.equals(two)) {
      //相等则GCD=任意一个
			//System.out.println("GCD="+one);
			return one;
		}
		int length1=one.length();
		int length2=two.length();
		String first=null,second=null,temp=null;
		if(length1>length2) {
      //保证第一个数大于第二个，当然也可以不用这么做
			first=one;
			second=two;
		}else if(length1<length2) {
   
			first=two;
			second=one;
		}else {
   
			for (int i = 0; i < length1; i+&