【剑指Offer】1025 除数博弈-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/HY_shen/article/details/123811288

题目

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 n 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < n 且 n % x == 0 。
用 n - x 替换黑板上的数字 n 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 true 。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例

示例1
输入：n = 2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例2
输入：n = 3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

解法一、数学推导

首先，可以推出，游戏的结束条件时n=2
因为当一个人拿到2时，那么他只能选择x=1，然后n=1，对方就输了，所以拿到n=2的一方一定会赢
爱丽丝拿到的数字有两种情况，奇数和偶数
且奇数的约数只能是奇数，而偶数的约数可以是奇数也可以是偶数
1、当爱丽丝拿到偶数时，如果她选择1为约数，那么留给对手的永远时奇数，对手只能选择另外一个奇数作为约数，
又奇数-奇数= 偶数，所有留给爱丽丝的永远是偶数，即n=2时，一定在爱丽丝手上，所有爱丽丝肯定赢
2、当爱丽丝拿到奇数，约数一定是奇数，那么留给对方的就是偶数，由1可知，对手肯定赢
因此，当爱丽丝拿到偶数时必胜，当爱丽丝拿到奇数时必败

代码

class Solution {
    public boolean divisorGame(int n) {
        return n % 2 == 0;
    }
}

有些同学可能会质疑，爱丽丝如果没有那么聪明，当拿到偶数时，也留给对方一个偶数不就输了
但是题目有一句话：假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。
所以双方都会执行最优解

解法二、动态规划

动态规划的思想比较简单，记录（1，n）上所有的结果，当计算n-x时，直接查找dp表
又因为时交替的进行，因此n[i] = !n[i-x]

class Solution {
    public boolean divisorGame(int n) {
        boolean []dp = new boolean[ n + 2];
        dp[1] = false;
        dp[2] = true;
        for(int i = 3; i < dp.length; i++)
        {
            for(int j = 1 ; j < i; j++)
            {
                if((i % j == 0) && dp[i - j ] != true)
                {
                    dp[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return dp[n];

    }
}