【数值分析】数据拟合——正交多项式

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于 2024-11-17 20:02:07 首次发布

正交多项式

定义

正交多项式：若 $f(x),g(x)\in C^{0}[a,b],(f(x),g(x))=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=0,$ 则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上正交。

正交函数系：若函数族 $\varphi _{0}(x),\varphi _{1}(x),\cdots ,\varphi _{n}(x),\cdots$ 满足关系 $(\varphi _{j},\varphi _{k})=\int_{a}^{b}\varphi _{j}(x)\varphi _{k}(x)=\left\{\begin{matrix} 0,j\neq k\\ A_{k}>0,j=k \end{matrix}\right.$ ，则称 $\begin{Bmatrix} {\varphi _{k}(x)} \end{Bmatrix}$ 时 $[a,b]$ 上的正交函数系。若 $A_{k}=1$ 则称之为标准正交函数系。

带权正交多项式：若 $f(x),g(x)\in C^{0}[a,b],\omega (x)$ 为 $[a,b]$ 上的权函数且满足 $(f(x),g(x))=\int_{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)dx=0$ 则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上带权 $\omega (x)$ 正交。

带权正交函数系：若函数族 $\varphi _{0}(x),\varphi _{1}(x),\cdots ,\varphi _{n}(x),\cdots$ 满足关系 $(\varphi _{j},\varphi _{k})=\int_{a}^{b}\varphi _{j}(x)\varphi _{k}(x)=\left\{\begin{matrix} 0,j\neq k\\ A_{k}>0,j=k \end{matrix}\right.$ ，则称 $\begin{Bmatrix} {\varphi _{k}(x)} \end{Bmatrix}$ 是 $[a,b]$ 上带权 $\omega (x)$ 的正交函数系。若 $A_{k}\equiv 1$ 则称之为标准正交函数系。