归并排序：高效分治的艺术

归并排序（Merge Sort）原理详解

归并排序是一种基于分治法（Divide and Conquer）的高效排序算法，由冯·诺依曼于1945年提出。它的核心思想是将大问题分解为小问题，解决小问题后再合并结果。

核心原理

1. 分治策略（Divide and Conquer）

• 分（Divide）：将无序数组递归地拆分成更小的子数组，直到每个子数组只有一个元素（此时可视为已排序）
• 治（Conquer）：将相邻的有序子数组合并成更大的有序数组
• 合（Combine）：重复合并过程，直到整个数组有序

2. 合并过程（关键步骤）

合并两个已排序的子数组 [left…mid] 和 [mid+1…right]：

1. 创建临时数组存放合并结果
2. 使用两个指针分别指向两个子数组的起始位置
3. 比较指针所指元素，将较小的元素放入临时数组
4. 移动指针，重复比较过程
5. 将剩余元素直接复制到临时数组末尾
6. 将临时数组复制回原数组对应位置

算法步骤详解

1. 递归分解：

   • 计算中点 mid = (left + right) / 2
   • 递归排序左半部分：mergeSort(arr, left, mid)
   • 递归排序右半部分：mergeSort(arr, mid+1, right)

2. 合并有序子数组：

   • 创建临时数组 temp[right-left+1]
   • 初始化指针：i=left（左数组起点），j=mid+1（右数组起点），k=0（临时数组起点）
   • 比较 arr[i] 和 arr[j]，将较小值放入 temp[k]
   • 递增较小值所在数组的指针和 k
   • 重复直到某个子数组全部处理完
   • 将剩余元素复制到 temp
   • 将 temp 复制回 arr[left…right]

动态示例

原始数组：[38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]

分解过程：
[38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]
→ [38, 27, 43] 和 [3, 9, 82, 10]
→ [38] [27, 43] | [3,9] [82,10]
→ [38] [27] [43] | [3] [9] [82] [10]

合并过程：
第一层合并：
[27, 38] ← 合并 [27] 和 [38]（排序后）
[3, 9] ← 合并 [3] 和 [9]
[10, 82] ← 合并 [10] 和 [82]

第二层合并：
[27, 38, 43] ← 合并 [27,38] 和 [43]
[3, 9, 10, 82] ← 合并 [3,9] 和 [10,82]

最终合并：
[3, 9, 10, 27, 38, 43, 82] ← 合并两个有序数组

算法特性

特性	说明
时间复杂度	最优/最差/平均均为 O(n log n)
空间复杂度	O(n)（需要与原始数组等大的临时空间）
稳定性	稳定排序（相同元素相对位置不变）
是否原地排序	否（需要额外空间）
适用场景	大数据量排序、外部排序、链表排序

伪代码实现

function mergeSort(arr, left, right):
    if left < right:
        mid = (left + right) / 2
        mergeSort(arr, left, mid)     // 排序左半部
        mergeSort(arr, mid+1, right)  // 排序右半部
        merge(arr, left, mid, right)  // 合并两个有序数组

function merge(arr, left, mid, right):
    temp = new array of size (right-left+1)
    i = left, j = mid+1, k = 0
    
    // 比较并合并
    while i <= mid and j <= right:
        if arr[i] <= arr[j]:
            temp[k++] = arr[i++]
        else:
            temp[k++] = arr[j++]
    
    // 复制剩余元素
    while i <= mid: temp[k++] = arr[i++]
    while j <= right: temp[k++] = arr[j++]
    
    // 复制回原数组
    for p = 0 to k-1:
        arr[left+p] = temp[p]

优势与应用场景

优势：

1. 稳定时间复杂度：始终保证 O(n log n) 的性能
2. 稳定排序：保持相等元素的原始顺序
3. 适合大数据集：性能不受输入数据分布影响
4. 适合外部排序：可处理内存放不下的大文件

典型应用：

• 大型数据库排序
• 外部排序（如文件排序）
• 需要稳定排序的场景
• 链表排序（归并排序是链表排序的最佳选择）
• 逆序对计算（利用合并过程的特性）

与快速排序对比

特点	归并排序	快速排序
时间复杂度	始终 O(n log n)	平均 O(n log n)，最差 O(n²)
空间复杂度	O(n)	O(log n)（递归栈空间）
稳定性	稳定	不稳定
额外空间	需要	可原地排序
数据敏感度	不受输入数据影响	受数据分布影响
缓存友好性	较差（跳跃访问）	较好（局部性原理）

归并排序凭借其稳定的 O(n log n) 时间复杂度和稳定性，成为大规模数据排序的重要工具，尤其在需要稳定排序或外部排序的场景中具有不可替代的优势。