13.图。

图

为什么要有图

1)前面我们学了线性表和树

2)线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系

3)树也只能有一个直接前驱也就是父节点

4)当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图

基本介绍

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：

常见概念

1. 顶点(vertex)

2. 边(edge)

3. 路径

4. 无向图(下图所示)

5. 有向图

6. 带权图（网）
   

表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）

邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点

链表（邻接表）

1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
   

入门案例

代码实现

    package demo01;
    
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Arrays;
    
    public class Graph {
        private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
        private int[][] edges; //存储图对应的邻接矩阵
        private int numOfEdges; //表示边的数目
    
        public static void main(String[] args) {
            //测试是否创建成功
            int n=5;
            String[] Vertexs ={"A","B","C","D","E"};
            //创建图对象
            Graph graph = new Graph(n);
            //循环的添加顶点
            for (String vertex:Vertexs){
                graph.insertVertex(vertex);
            }
            //添加边
            //A-B A-C B-C B-D B-E
            graph.insertEdge(0,1,1);//A-B
            graph.insertEdge(0,2,1);//A-C
            graph.insertEdge(1,2,1);//B-C
            graph.insertEdge(1,3,1);//B-D
            graph.insertEdge(1,4,1);//B-E
    
            //显示邻接矩阵
            graph.showGraph();
    
        }
    
        //构造器
        public Graph(int n){
            //初始化矩阵和vertexList
            edges=new int[n][n];
            vertexList=new ArrayList<>();
            numOfEdges=0;
        }
        //图中常用的方法
        //返回节点的个数
        public int getNumOfVertex(){
            return vertexList.size();
        }
        //得到边的数目
        public int getNumOfEdges(){
            return numOfEdges;
        }
        //返回结点 i (下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
        public String getValueByIndex(int i){
            return vertexList.get(i);
        }
        //返回v1,v2的权值
        public int getWeight(int v1,int v2){
            return edges[v1][v2];
        }
        //显示图对应的矩阵
        public void showGraph(){
            for (int[] link:edges){
                System.out.println(Arrays.toString(link));
            }
        }
        //插入顶点
        public void insertVertex(String vertex){
            vertexList.add(vertex);
        }
        /**
         * 添加边
         * @param v1 表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"-0 "B"-1
         * @param v2 第二个顶点对应的下标
         * @param weight
         */
        public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){
            //因为是无向图
            edges[v1][v2]=weight;
            edges[v2][v1]=weight;
            numOfEdges++;
        }
    }

图的遍历

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:

(1)深度优先遍历

(2)广度优先遍历

深度优先遍历DFS

简单介绍

• 图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

  1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

  2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。

  3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

算法步骤

1. 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。

2. 查找结点v的第一个邻接结点w。

3. 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。

4. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。

5. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。
   

代码展示

    package demo02;
    
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Arrays;
    
    public class Graph {
        private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
        private int[][] edges; //存储图对应的邻接矩阵
        private int numOfEdges; //表示边的数目
        //定义给数组boolean[] ,记录某个结点是否被访问
        private boolean[] isVisited ;
    
        public static void main(String[] args) {
            //测试是否创建成功
            int n=5;
            String[] Vertexs ={"A","B","C","D","E"};
            //创建图对象
            Graph graph = new Graph(n);
            //循环的添加顶点
            for (String vertex:Vertexs){
                graph.insertVertex(vertex);
            }
            //添加边
            //A-B A-C B-C B-D B-E
            graph.insertEdge(0,1,1);//A-B
            graph.insertEdge(0,2,1);//A-C
            graph.insertEdge(1,2,1);//B-C
            graph.insertEdge(1,3,1);//B-D
            graph.insertEdge(1,4,1);//B-E
    
            //显示邻接矩阵
            graph.showGraph();
    
            //测试 dfs 遍历是否 OK
            System.out.println("深度遍历");
            graph.dfs();
        }
    
        //构造器
        public Graph(int n){
            //初始化矩阵和vertexList
            edges=new int[n][n];
            vertexList=new ArrayList<>();
            numOfEdges=0;
            isVisited = new boolean[5];
        }
    
        //得到第一个邻接节点的下标 w
        public int getFirstNeighbor(int index){
            for(int j=0;j<vertexList.size();j++){
                if (edges[index][j]>0){
                    return j;
                }
            }
            return -1;
        }
        //根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
        public int getNextNeighbor(int v1,int v2){
            for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++){
                if (edges[v1][j]>0){
                    return j;
                }
            }
            return -1;
        }
    
        //深度优先遍历方法
        // i 第一次是 0
        private void dfs(boolean[] isVisited,int i){
            //首先我们访问该节点，输出
            System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
            //将节点设置成已访问
            isVisited[i]=true;
            //查找结点 i 的第一个邻接节点 w
            int w=getFirstNeighbor(i);
            while (w!=-1){ //说明有邻接节点
                if (!isVisited[w]){
                    dfs(isVisited,w);
                }
                //如果 w 结点已经被访问过
                w = getNextNeighbor(i,w);
            }
        }
    
        //对 dfs 进行一个重载，遍历我们所有的节点，并进行 dfs
        public void dfs(){
            //遍历所有的节点，进行dfs【回溯】
            for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
                if (!isVisited[i]){
                    dfs(isVisited,i);
                }
            }
        }
    
    
        //图中常用的方法
        //返回节点的个数
        public int getNumOfVertex(){
            return vertexList.size();
        }
        //得到边的数目
        public int getNumOfEdges(){
            return numOfEdges;
        }
        //返回结点 i (下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
        public String getValueByIndex(int i){
            return vertexList.get(i);
        }
        //返回v1,v2的权值
        public int getWeight(int v1,int v2){
            return edges[v1][v2];
        }
        //显示图对应的矩阵
        public void showGraph(){
            for (int[] link:edges){
                System.out.println(Arrays.toString(link));
            }
        }
        //插入顶点
        public void insertVertex(String vertex){
            vertexList.add(vertex);
        }
        /**
         * 添加边
         * @param v1 表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"-0 "B"-1
         * @param v2 第二个顶点对应的下标
         * @param weight
         */
        public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){
            //因为是无向图
            edges[v1][v2]=weight;
            edges[v2][v1]=weight;
            numOfEdges++;
        }
    }

广度优先遍历BFS

基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。

类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

算法步骤

1)访问初始结点v并标记结点v为已访问。

2)结点v入队列

3)当队列非空时，继续执行，否则算法结束。

4)出队列，取得队头结点u。

5)查找结点u的第一个邻接结点w。

6)若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：

6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。

6.2 结点w入队列

6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

代码分析

    package demo03;
    
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Arrays;
    import java.util.LinkedList;
    import java.util.Stack;
    
    //广度优先算法
    public class Graph {
        private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
        private int[][] edges; //存储图对应的邻接矩阵
        private int numOfEdges; //表示边的数目
        //定义给数组boolean[] ,记录某个结点是否被访问
        private boolean[] isVisited;
    
        public static void main(String[] args) {
            //测试是否创建成功
            int n = 5;
            String[] Vertexs = {"A", "B", "C", "D", "E"};
            //创建图对象
            Graph graph = new Graph(n);
            //循环的添加顶点
            for (String vertex : Vertexs) {
                graph.insertVertex(vertex);
            }
            //添加边
            //A-B A-C B-C B-D B-E
            graph.insertEdge(0, 1, 1);//A-B
            graph.insertEdge(0, 2, 1);//A-C
            graph.insertEdge(1, 2, 1);//B-C
            graph.insertEdge(1, 3, 1);//B-D
            graph.insertEdge(1, 4, 1);//B-E
    
            //显示邻接矩阵
            graph.showGraph();
    
            //测试 dfs 遍历是否 OK
            System.out.println("深度遍历");
            //graph.dfs();
    
            //广度优先
            System.out.println();
            System.out.println("广度优先");
            graph.bfs();
        }
    
        //构造器
        public Graph(int n) {
            //初始化矩阵和vertexList
            edges = new int[n][n];
            vertexList = new ArrayList<>();
            numOfEdges = 0;
            isVisited = new boolean[5];
        }
    
        //得到第一个邻接节点的下标 w
        public int getFirstNeighbor(int index) {
            for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
                if (edges[index][j] > 0) {
                    return j;
                }
            }
            return -1;
        }
    
        //根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
        public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
            for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
                if (edges[v1][j] > 0) {
                    return j;
                }
            }
            return -1;
        }
    
        //深度优先遍历方法
        // i 第一次是 0
        private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
            //首先我们访问该节点，输出
            System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
            //将节点设置成已访问
            isVisited[i] = true;
            //查找结点 i 的第一个邻接节点 w
            int w = getFirstNeighbor(i);
            while (w != -1) { //说明有邻接节点
                if (!isVisited[w]) {
                    dfs(isVisited, w);
                }
                //如果 w 结点已经被访问过
                w = getNextNeighbor(i, w);
            }
        }
    
        //对 dfs 进行一个重载，遍历我们所有的节点，并进行 dfs
        public void dfs() {
            //遍历所有的节点，进行dfs【回溯】
            for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
                if (!isVisited[i]) {
                    dfs(isVisited, i);
                }
            }
        }
    
        //对一个节点进行广度优先算法
        private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
            int u; //表示队列的头节点对应的下标
            int w; //邻接节点 w
            //队列,节点访问的顺序
            LinkedList queue = new LinkedList();
            //访问节点，输出节点信息
            System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
            //标记为已访问
            isVisited[i] = true;
            //将节点加入队列
            queue.addLast(i);
            while (!queue.isEmpty()) {
                //取出队列的头节点下标
                u = (Integer) queue.removeFirst();
                //得到第一个邻接点的下标 w
                w = getFirstNeighbor(u);
                while (w != -1) { //找到
                    //判断是否访问过
                    if (!isVisited[w]) {
                        System.out.print(getValueByIndex(w) + "->");
                        //标记已经访问
                        isVisited[w] = true;
                        //加入队列
                        queue.addLast(w);
                    }
                    //以 u 为前驱点找 w 后面的下一个邻接点
                    w = getNextNeighbor(u, w); //体现出广度优先
    
                }
            }
        }
    
        //要遍历所有的节点，都进行广度优先搜索
        public void bfs() {
            for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
                if (!isVisited[i]) {
                    bfs(isVisited, i);
                }
            }
        }
    
    
        //图中常用的方法
        //返回节点的个数
        public int getNumOfVertex() {
            return vertexList.size();
        }
    
        //得到边的数目
        public int getNumOfEdges() {
            return numOfEdges;
        }
    
        //返回结点 i (下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
        public String getValueByIndex(int i) {
            return vertexList.get(i);
        }
    
        //返回v1,v2的权值
        public int getWeight(int v1, int v2) {
            return edges[v1][v2];
        }
    
        //显示图对应的矩阵
        public void showGraph() {
            for (int[] link : edges) {
                System.out.println(Arrays.toString(link));
            }
        }
    
        //插入顶点
        public void insertVertex(String vertex) {
            vertexList.add(vertex);
        }
    
        /**
         * 添加边
         *
         * @param v1     表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"-0 "B"-1
         * @param v2     第二个顶点对应的下标
         * @param weight
         */
        public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
            //因为是无向图
            edges[v1][v2] = weight;
            edges[v2][v1] = weight;
            numOfEdges++;
        }
    }
    

深度优先VS广度优先

深度优先：纵向往下走

广度优先：横向的，一层一层的走