牛顿迭代法算近似平方根

在《算法》一书中看到一个用“牛顿迭代法”求平方根的算法,当时就一脸懵逼,压根看不懂啊。
百度了下“牛顿迭代法”,尼玛压根看不懂,内容中涉及到的曲线方程求导函数,以及求切线方程的知识都还给高中老师了,不看懂我心里难受,于是硬着头皮恶补相关知识。

很多朋友把相关的知识写得很详细,关键在于理解平方根与牛顿迭代法的关系,这里不详细描述,只贴代码。

 /**
      * 牛顿迭代法
      * @param num float 需要求平方根的数字
      * @param e float 要求最大误差不得超过e
      * @return
      */
     private static float sqrtNewton(float num, float e) {


         float guess = num / 2;
         float e0;
         int count = 0;

         do {
                //牛顿迭代法用在这里了
                //简化的写法:guess = (guess + num / guess) / 2;
                guess = guess-(guess*guess-num)/(2*guess);
                e0 = guess*guess - num;
                count++;
                System.out.println("第"+ count + "次计算:"+"guess="+guess+",误差="+e0);
         } while (e0 > e);

         System.out.println("经过"+count+"次计算,得到的结果为"+guess);

         return guess;
    }

来自《算法》一书的算法:

public static double sqrt(double c){
        if(c<0)
            return Double.NaN;
        //猜测值
        double t = c;
        //误差
        double err = 1e-15;

        while(Math.abs(t-c/t) > err*t){
            t = (c/t+t)/2.0;
        }
        return t;
    }
<think>好的,我现在需要帮助用户实现用Python编写的牛顿迭代来计平方根。首先,我得回忆一下牛顿迭代的原理。根据引用中的信息,牛顿迭代是一种近似求解方程的方,用于寻找方程的根。对于求平方根的问题,比如求√a,可以转化为求方程x² - a = 0的根。这时,牛顿迭代迭代公式应该是xₙ₊₁ = (xₙ + a/xₙ)/2,对吗? 接下来,我需要考虑如何在Python中实现这个公式。用户可能需要一个函数,输入一个正整数a,然后返回它的平方根。需要注意的是,初始猜测值的选择,通常可以选择a本身或者a/2作为初始值。不过根据引用中的例子,可能初始值选为a,然后不断迭代直到满足精度要求。 然后,要处理迭代终止的条件。通常,当两次迭代的结果之间的差小于某个很小的数(比如1e-6)时,就可以停止迭代。但用户可能需要设置一个最大迭代次数,防止无限循环。不过根据引用中的例子,可能只需要用while循环判断差值是否足够小。 然后,编写代码的结构。函数大概的结构应该是:定义函数sqrt_newton(a),初始化x为a或a/2,然后进入循环,计下一个近似值x_next,然后比较x和x_next的差,如果小于某个阈值就返回结果。否则,更新x的值继续循环。 另外,需要考虑a为0或者负数的情况。但根据引用中的描述,用户可能关注的是正整数的平方根,所以在代码中可以添加判断,如果a是负数的话报错,或者返回复数。不过用户的问题明确提到是正整数,所以可能只需要处理正数的情况。 现在,举个例子,比如计a=2的平方根,初始猜测x=2,然后迭代x_next=(2/2 +2)/2= (1+2)/2=1.5。下一次迭代,x=1.5,x_next=(1.5 + 2/1.5)/2≈ (1.5 +1.3333)/2≈1.4167。继续迭代直到差值足够小。 测试的时候,可能会发现需要更多的迭代次数才能达到高精度,但用1e-6的误差应该足够。然后,返回x_next作为结果。 现在,编写代码的大致步骤: 1. 定义函数,参数a和可选的初始猜测值(可选参数)。 2. 处理特殊情况,如a=0直接返回0,a为负数报错。 3. 初始化x,比如x = a或者a/2,或者其它初始值。 4. 进入循环,计x_next = (x + a/x)/2。 5. 检查x和x_next的差值是否小于阈值,如果是则退出循环,返回结果。 6. 否则,将x设置为x_next,继续循环。 此外,还可以添加一个精度参数,让用户可以调整所需的精度。但根据用户的问题,可能不需要,所以先实现基本的。 可能的代码: def sqrt_newton(a, epsilon=1e-6): if a < 0: raise ValueError("输入必须为非负数") if a == 0: return 0 x = a while True: x_next = (x + a / x) / 2 if abs(x_next - x) < epsilon: return x_next x = x_next 这里,初始值x设置为a。然后不断迭代直到满足精度。测试这个函数是否正确。比如,输入sqrt_newton(2)应该返回接近1.4142的值。可能还需要处理浮点数的精度问题,但Python的浮点数运应该足够。 现在,用户的问题已经得到解决,但需要生成相关的问题。根据之前的示例,可能的问题包括: 1. 牛顿迭代在求解平方根时的收敛速度如何? 2. 如何选择牛顿迭代的初始值以加快收敛? 3. 牛顿迭代与二分在计平方根时的优缺点比较? 或者,根据引用中的内容,可能的问题可以是: 1. 牛顿迭代和其他方(如二分)在计平方根时的区别? 2. 如何处理牛顿迭代中的除零错误? 3. 牛顿迭代是否适用于求复数的平方根? 等等。根据用户提供的引用,可能相关的问题会涉及比较不同的方,或者优化初始值选择等。 总结,编写代码并解释步骤,然后生成相关问题。</think>### Python实现牛顿迭代平方根 牛顿迭代通过迭代公式逼近方程$f(x) = x^2 - a = 0$的根,具体步骤如下: 1. **选择初始值**:通常以目标值$a$或$a/2$作为初始猜测$x_0$[^2][^3]。 2. **迭代公式**:根据牛顿公式$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$,推导得平方根迭代公式: $$x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)$$ 3. **终止条件**:当连续两次迭代结果差值小于精度阈值(如$10^{-6}$)时停止[^3]。 #### Python代码实现 ```python def sqrt_newton(a, epsilon=1e-6): if a < 0: raise ValueError("输入必须为非负数") if a == 0: return 0.0 x = a # 初始猜测值 while True: x_next = (x + a / x) / 2 if abs(x_next - x) < epsilon: return x_next x = x_next ``` #### 示例调用 ```python print(sqrt_newton(2)) # 输出≈1.4142135623746899 print(sqrt_newton(9)) # 输出≈3.0 ``` #### 关键点说明 - **初始值优化**:选择$a/2$作为初始值可能减少迭代次数 - **收敛速度**:牛顿在单根附近具有平方收敛特性,速度远超二分[^1] - **异常处理**:添加对负数的检查防止数学错误[^2]
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