C++编程 计算星期几问题（快速幂算法）

一、问题描述
今天是星期日，计算a^b天后是星期几？

二、解法
1.暴力破解法
直接用一个for循环，计算b次a相乘的结果，因为一周一共有7天，所以将乘积模7，就能得到结果。
但是这样做存在一个问题：当b比较大的时候，会出现数据溢出的情况，导致程序运行结果错误，因此，我们需要考虑其他做法，这里要运用到模运算的运算规则。

2.模运算的运算规则

a%p%p = a%p
(a+b)%p = (a%p+b%p)%p
ab%p = [(a%p)·(b%p)]%p

以上规则可证明如下：

① 先证明（a+b)%p = (a%p+b%p)%p
设 a=mp+r1  b=np+r2   ∴r1 = a%p  r2=b%p
(a+b)%p = [(m+n)p+r1+r2]%p
将m+n看成x，将r1+r2看成y。（xp+y）%p ---->  求（xp+y)/p的余数---> 求xp/p + y/p 的余数，
也就是求（r1+r2）%p.  ----> (a%p+b%p)%p

② 证明ab%p = [(a%p)·(b%p)]%p
同样地，假设a=mp+r1  b=np+r2   ∴r1 = a%p  r2=b%p
ab%p = [(mp+r1)·(np+r2)]%p
          = [mnp^2+p(mr2+nr1)+r1r2]%p
          = [(mnp^2)%p + [p(mr2+nr1)%p] + (r1r2)%p]%p
          = [0+0+(r1r2)%p]%p
          = [(a%p)(b%p)]%p

从证明②中可以知道：
 [(a%p)(b%p)]%p = a%p*b%p （同样地，通过假设可以证明）

3. 编程实现

using namespace std;
int main()
{
	long long a,b,sum;
	sum=1;
	cin>>a>>b;
	for(int i=1;i<=b;i++)
	{
		sum = sum * a % 7; # 根据证明可以知道，每次乘完之后取模和最后乘完一起取模的结果是一样的。
	}
	switch(sum)
		{
			case 0:cout<<"Sunday"<<endl;break;
			case 1:cout<<"Monday"<<endl;break;
			case 2:cout<<"Tuesday"<<endl;break;
			case 3:cout<<"Wednesday"<<endl;break;
			case 4:cout<<"Thursday"<<endl;break;
			case 5:cout<<"Friday"<<endl;break;
			case 6:cout<<"Saturday"<<endl;break;
		}
	return 0;
 } 

通过每次做完乘法之后进行取模运算，可以避免数据过大出现数据溢出的现象。以下是编程结果：

第一种编程方法的时间复杂度是O(n)，当b特别大的时候，算法运行的时间较长。这时候，就要介绍一下快速幂算法，帮助我们降低算法的时间复杂度。

4.快速幂算法
核心思想：每一步都把指数分为两半，相应的底数做平方运算。

举例：
求3*3*3*3*3*3*3*3*3*3的结果
(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3) = 9*9*9*9*9
9*9*9*9*9 = (9*9*9*9) * 9  ----->指数为1时，底数为9，mark
9*9*9*9 = 81 * 81
81 * 81 = 6561  ---->指数为1时，底数为6561，mark
∴最终的3^10 = 6561 * 9
快速幂的方法就是：
判断指数奇偶性：
当指数是偶数时：
将指数÷2；底数=底数*底数；
当指数是奇数时：
指数=指数-1；结果=结果*底数；
指数=指数÷2；底数=底数*底数；

利用这种思想对代码块重写，

	while(b>0){
		if(b%2==0){
			b = b/2;
			a = a*a%7;
		}
		else{
			b = b - 1;
			sum = sum*a%7;
			b = b/2;
			a = a*a%7;
		}}

5.对算法进行优化
对于else代码块中的

b = b-1;
b = b/2;

可以直接写成b/2;
也就是：

	while(b>0){
		if(b%2==0){
			b = b/2;
			a = a*a%7;
		}
		else{
			b = b/2;
			sum = sum*a%7;
			a = a*a%7;
		}}

可以发现，此时if和else代码块中存在重复语句，因此代码可以压缩为：

	while(b>0){
		if(b%2==1){
			sum = sum*a%7;
		}
		b = b/2;
		a = a*a%7;
	}

6.利用运算符继续进行优化
在C++中，&是按位与运算符，由于

0&0=0； 0&1=0；1&0=0；1&1=1  ---->0跟任何值相与都等于0，1跟任何值相与都等于1.
所以对于X=10100110，要得到X的最后四位，可以将X与00001111相与。

根据上述的知识点，要判断b的奇偶性，可以利用与运算。

b&1 
当b最后一位是0时，代表偶数，b&1=0
当b最后一位是1时，代表奇数，b&1=1

b=b/2可以利用位移运算符完成：

类似于10进制，30左移最后一位补0，相当于乘10，右移一位相当于除以10.
a<<1 相当于把a的二进制左移1位，就是乘以2。 a>>1相当于除以2.

所以最后代码可以改写为：

	while(b>0){
		if(b&1){
			sum=sum*a%7;
		}
		b=b>>1;
		a=a*a%7;
	}

本篇文章参考：https://blog.youkuaiyun.com/qq_19782019/article/details/85621386