【背包九章-01背包】获取最大价值（附 01背包一维数组优化的时候为什么容量要逆序遍历）

本文深入探讨了01背包问题的解决方法，包括使用二维数组的传统动态规划算法和优化后的滚动数组方法。通过实例详细解释了正序和逆序遍历在算法执行过程中的不同效果，揭示了01背包问题中物品不能重复选择的本质。

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输入

题目：小明有容量m的袋子，有n个物品物品有价值和体积，问最多能装多少价值的物品。

前两个数为n,m (n为n个物品，m代表有m容量的袋子)

01背包

    static int[] v;
    static int[] w;
    static int n,W;
    public static  int dp01(int []v,int[] w) {
        int dp[][] = new int[n+2][n+2];

        for(int i = 1;i <= n;i++){
            for(int j = 0;j <= W;j++){
                if(j >= v[i]){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        int rs = 0;
        for(int i = 0;i <= W;i++){
            rs = Math.max(rs,dp[n][i]);
        }
        return rs;
    }
    public static void main(String[] args) {
       
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        while(sc.hasNextInt()){
            n = sc.nextInt();
            W = sc.nextInt();
            v = new int[n+1];
            w = new int[n+1];
            for(int i = 1;i <= n;i++){
                v[i] = sc.nextInt();
                w[i] = sc.nextInt();
            }
            System.out.println(dp01(v,w));
        }

    }

滚动数组优化01背包：

    public static  int dp01(int []v,int[] w) {
        int dp[] = new int[n+2];
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            for(int j = W;j >= 0;j--){
                if(j >= v[i]){
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
                }
            }
        }
        int rs = 0;
        for(int i = 0;i <= n;i++){
            rs = Math.max(rs,dp[i]);
        }
        return rs;
    }

现在我们用正序遍历一遍
当i = 1时
f[0] = 0 ,f[1] = 0,f[2] = 0,f[3] =0    (显然当前容积小于该物品的体积，自然就放不进去，统统初始化为0)
f[4] = max( f[4],f[0]+3) 即f[4] = max(0,0+3) = 3;
f[5] = max( f[5],f[1]+3) 即f[5] = max(0,0+3) = 3;
f[6] = max( f[6],f[2]+3) 即f[6] = max(0,0+3) = 3;
f[7] = max( f[7],f[3]+3) 即f[7] = max(0,0+3) = 3;
f[8] = max( f[8],f[4]+3) 即f[8] = max(0,3+3) = 6;

大家快看!!!!!!!!!!!!

有奇怪的事发生了，人群之中竟然钻出了两个.....两个f[4]!!!

那么问题来了，还记得01背包的性质么？这个序号为1的物品竟然用了两次!!!

[8] = max(f[8],f[4]+3)即f[8] = max(0,0+3) = 3;

f[7] = max(f[7],f[3]+3)即f[7] = max(0,0+3) = 3;

f[6] = max(f[6],f[2]+3)即f[8] = max(0,0+3) = 3;

f[5] = max(f[5],f[1]+3)即f[5] = max(0,0+3) = 3;

f[4] = max(f[4],f[0]+3)即f[4] = max(0,0+3) = 3;

 f[3] = 0,f[2] = 0,f[1] = 0,f[0] = 0

不知道大家发现没有，逆序遍历在向前滚动的时候并没有对更小体积的清况进行更新，而正序时却对同一件物品进行了多次操作。
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参考：https://blog.youkuaiyun.com/qq_40828060/article/details/78422412