算法——分治算法

分治策略主要利用递归来解决问题，它包括以下三个步骤：

分解：将问题分解为一与原问题类似并且比原问题规模更小的子问题

解决：当分解的子问题足够小时，直接给出答案，否则用递归打方式求解

合并：将子问题的解合成原问题的解

下面考虑一个简单的利用分治算法的归并排序的例子

问题的形式化描述如下：

输入：A是 一个全序关系，A[p,q]是这个全序关系上的一部分

输出：将A[p,q]部分进行排序

下面是分治策略的伪代码：

MERGE(A,p,q,r)

1 n1 = q-p+1

2 n2 = r-q

3 Let L[1..n1=1]  and R[1..n2+1] be new arrays

4 for i = 1 to n1

L[i ] = A[p + i -1]

5 for j = 1 tp n2

R[j] = A[q +j]

6 L[n1 + 1] = ∞

7 R[n2 +1] = ∞ 

8 i = 1

9 j = 1

10 for k= p to r

if L[i] <=R[j]

A[k] = L[i]

i++

11 else A[k] = R[j]

j++

MERGE-SORT(A,p,r)

1 if p  < r

2 q = [（p = q）]/2

3 MERGE-SORT(A,p,q)

4 MERGE-SORT(A,q+1，r)

5 MERGE(A,mp,q,r)

下面按照上面的三个步骤分析该算法

第一步：分解

MERGE-SORT函数中的第二行将数组分成了两个元素较少的子数组，分别是从p-q和q+1 - r

第二步：解决

MERGE-SORT函数中的第三第四行分别对两个子数组进行递归调用，当数组中只有一个元素时，结束方法，排序完毕

第三步：合并：

MERGE函数将两个已经排好序的子数组合并成一个排序的大数组，在MERGE-SORT函数中调用此方法来将两个子数组合并成一个大的数组

我们可以用树的形式来表示算法的执行过程，利用递归树来进行分治算法的分析是一个十分有效的方法

通过递归树，我们可以得出此算法的时间复杂度O（nlgn）

参考书籍：算法导论（第三版），（美）Cormen等著，殷建平等译，机械工程出版社，2013.1

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