中国剩余定理的应用

例题一：Biorhythms( pku 1006)

有些人认为一个人一生中有三个周期，从他或她出生的那一天开始。这三个周期是身体周期，情感周期的和智力的周期，他们有周期的长度为23，28，和33天。每一个周期都有一个高峰。在一个周期的高峰期，一个人在他/她在相应的领域（身体，情绪或精神）。例如，如果它是心理曲线，思维过程会更清晰和集中会更容易。

由于三个周期有不同的周期，所以这三个周期的峰值一般发生在不同的时间。我们想确定何时发生绝对高潮（所有三个周期的峰值发生在同一天）。因为处于绝对高潮时人各方面均表现优异，因此人们想知道绝对高潮在哪一天出现。对身体周期，情绪周期和智力周期，给出本年内他们各自的一个高潮日（不一定是第一个）后经过的天数p，e，i。另外，给出本年内已经经过的天数d(d>=0).求出在d所代表的日期多少天后，三种周期的高潮日又一次在同一天出现。

输入：输入数据有多组，每组测试数据占一行，有四个整数，p,e,i和d.  p,e,i 分别代表从0开始计时，身体周期，情感周期和智力周期首次出现高潮的日期，要求编程计算经过d后多少天第一个绝对高潮出现，输入保证绝对高潮在21252内的某一天出现。输入以-1，-1，-1结束。

输出：例如：Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.

分析：中国剩余定理的直接应用

X ≡p (mod 23)

X ≡e (mod 28)

X ≡i (mod 33)

因为23，28，33是两两互质的整数，即满足中国剩余定理的使用条件。需要注意的是，这里要求的解要求是大于d的最小整数解

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int m[4],a[4],M;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)///这里的扩展欧几里得算法的数据类型用的是int型，也可以用long long,
{                                    ///数据类型不同也可以相互进行运算，只不过需要注意运算后的数据类型
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}
int China(int r)///r表示一元线性同余方程的数量
{
     M=1;
    int Mi,x0,y0,ans=0;
    for(int i=1;i<=r;i++)
        M*=m[i];
    for(int i=1;i<=r;i++)
    {
        Mi=M/m[i];
        int g=exgcd(Mi,m[i],x0,y0);
        ans=(ans+Mi*x0*a[i])%M;
    }
    if(ans<0)
        ans+=M;
    return ans;
}
int main()
{
    int t=0,p,e,i,d;
    while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d)!=EOF)
    {
        if(p==-1&&e==-1&&i==-1&&d==-1)
            break;注意
        t++;///记录测试数据的次数
        a[1]=p,a[2]=e,a[3]=i;///第一次天数（模周期的余数）
        m[1]=23,m[2]=28,m[3]=33;
      int ans=China(3);
        while(ans<=d)
            ans+=M;
         printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",t,ans-d);/// 注意输出的形式，空格等
      }
    return 0;
}

我知道部分同学最近在看中国剩余定理，就这个定理本身，还是比较简单的：假设m1,m2,…,mk两两互素，则下面同余方程组：x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)…x≡ak(mod mk)在0<=<m1m2…mk内有唯一解。记Mi=M/mi(1<=i<=k),因为（Mi,mi）=1,故有二个整数pi,qi满足Mipi+miqi=1,如果记ei=Mi/pi,那么会有：ei≡0(mod mj),j!=iei≡1(mod mj),j=i很显然，e1a1+e2a2+…+ekak就是方程组的一个解，这个解加减M的整数倍后就可以得到最小非负整数解。这就是中国剩余定理及其求解过程。现在有一个问题是这样的：一个正整数N除以M1余(M1 - a)，除以M2余(M2-a), 除以M3余(M3-a),总之， 除以MI余(MI-a),其中（a<Mi<100 i=1,2,…I）,求满足条件的最小的数

Input

输入数据包含多组测试实例，每个实例的第一行是两个整数n(1<I<10)和a,其中，n表示M的个数，a的含义如上所述，紧接着的一行是n个整数M1,M1...MI，I=0 并且a=0结束输入，不处理。

Output

对于每个测试实例，请在一行内输出满足条件的最小的数。每个实例的输出占一行。

Sample Input

2 1
2 3
0 0

Sample Output

5

分析：这是一道非常基础的同余问题，之所以放到这里是因为题目描述中涉及到中国剩余定理。根据题目描述不难得出：N%Mi+a=Mi,因此 N+a ≡0 (mod Mi). 题目的言外之意就是让求N个Mi的最小公倍数。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int n,a;
    int temp;
    long long ans;
    while(scanf("%d%d",&n,&a)!=EOF)
    {
        if(n==0&&a==0)
            break;
            ans=1;
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                cin>>temp;
                ans=(ans*temp)/gcd(ans,temp);
            }
            cout<<ans-a<<endl;
    }
    return 0;
 }