一、查找算法介绍
在java中，我们常用的查找有四种:
1) 顺序(线性)查找
2) 二分(折半)查找
3) 插值查找
4) 斐波那契(黄金分割法)查找
二、 顺序(线性)查找算法
有一个数列： {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，判断数列中是否包含此名称【顺序查找】
要求: 如果找到了，就提示找到，并给出下标值。
思路：顺序查找到全部符合条件的值。
代码实现：
public class SeqSearchTest {
public static void main(String[] args) {
int arr[] = { 1, 9, 11, -1, 34, 89 };// 没有顺序的数组
int index = seqSearch(arr, -11);
if(index == -1) {
System.out.println("没有找到到");
} else {
System.out.println("找到，下标为=" + index);
}
}
/**
* 这里我们实现的线性查找是找到一个满足条件的值，就返回
* @param arr
* @param value
* @return
*/
public static int seqSearch(int[] arr, int value) {
// 线性查找是逐一比对，发现有相同值，就返回下标
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if(arr[i] == value) {
return i;
}
}
return -1;
}
}
三、 二分(折半)查找
3.1、问题
3.1.1、问题
请对一个有序数组进行二分查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。
思路分析
1. 首先确定该数组的中间的下标
mid = (left + right) / 2
2. 然后让需要查找的数 findVal 和 arr[mid] 比较
2. 1 findVal > arr[mid] , 说明你要查找的数在mid 的右边, 因此需要递归的向右查找
2.2 findVal < arr[mid], 说明你要查找的数在mid 的左边, 因此需要递归的向左查找
2.3 findVal == arr[mid] 说明找到，就返回
注：什么时候我们需要结束递归.
1) 找到就结束递归
2) 递归完整个数组，仍然没有找到findVal ，也需要结束递归 当 left > right 就需要退出
3.1.2、扩展思考题
{1,8, 10, 89, 1000, 1000，1234} 当一个有序数组中，有多个相同的数值时，如何将所有的数值都查找到，比如这里的 1000
思路分析
1. 在找到mid 索引值，不要马上返回
2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
4. 将Arraylist返回
注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的.
3.2、上面问题的“递归的算法”
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class BinarySearch {
public static void main(String[] args) {
//int arr[] = { 1, 8, 10, 89,1000,1000, 1234 };
int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11, 12, 13,14,15,16,17,18,19,20 };
// int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
// System.out.println("resIndex=" + resIndex);
List<Integer> resIndexList = binarySearch2(arr, 0, arr.length - 1, 1);
System.out.println("resIndexList=" + resIndexList);
}
// 二分查找算法
/**
*
* @param arr
* 数组
* @param left
* 左边的索引
* @param right
* 右边的索引
* @param findVal
* 要查找的值
* @return 如果找到就返回下标，如果没有找到，就返回 -1
*/
public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
// 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
if (left > right) {
return -1;
}
int mid = (left + right) / 2;
int midVal = arr[mid];
if (findVal > midVal) { // 向 右递归
return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
} else if (findVal < midVal) { // 向左递归
return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
} else {
return mid;
}
}
public static List<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
// 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
if (left > right) {
return new ArrayList<Integer>();
}
int mid = (left + right) / 2;
int midVal = arr[mid];
if (findVal > midVal) { // 向 右递归
return binarySearch2(arr, mid + 1, right, findVal);
} else if (findVal < midVal) { // 向左递归
return binarySearch2(arr, left, mid - 1, findVal);
} else {
//思路分析
//1. 在找到mid 索引值，不要马上返回
//2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
//3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
//4. 将Arraylist返回
List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();
//向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
int temp = mid - 1;
while(true) {
if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {//退出
break;
}
//否则，就temp 放入到 resIndexlist
resIndexlist.add(temp);
temp -= 1; //temp左移
}
resIndexlist.add(mid);
//向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
temp = mid + 1;
while(true) {
if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {//退出
break;
}
//否则，就temp 放入到 resIndexlist
resIndexlist.add(temp);
temp += 1; //temp右移
}
return resIndexlist;
}
}
}3.3、非递归算法（扩展）
public class BinarySearchTest {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
int target = 5;
int result = binarySearch(arr, target);
if (result != -1) {
System.out.println("元素 " + target + " 的下标是: " + result);
} else {
System.out.println("数组中没有找到元素 " + target);
}
}
public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
int left = 0;
int right = arr.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2; // 防止(left + right)的溢出
if (arr[mid] == target) {
return mid; // 找到目标元素，返回下标
} else if (arr[mid] < target) {
left = mid + 1; // 继续在右半边查找
} else {
right = mid - 1; // 继续在左半边查找
}
}
return -1; // 如果没有找到目标元素，返回-1
}
}
四、插值查找（自适应）
4.1、插值查找原理介绍
1、插值查找算法类似于二分查找，不同的是插值查找每次从自适应mid处开始查找。
2、将折半查找中的求mid 索引的公式 , low 表示左边索引left, high表示右边索引right.key 就是前面我们讲的 findVal（需要查找的值）
3、int mid = low + (high - low) * (key - arr[low]) / (arr[high] - arr[low]) ;/*插值索引*/
对应前面（3.2）的代码公式：
int mid = left + (right – left) * (findVal – arr[left]) / (arr[right] – arr[left])
4、举例说明插值查找算法 1-100 的数组
注：插值查找算法，也要求数组是有序的
4.2、插值查找算法的举例说明
数组 arr = [1, 2, 3, ......., 100]
使用插值查找算法
int mid = left + (right – left) * (findVal – arr[left]) / (arr[right] – arr[left])
假如我们需要查找的值 1
使用二查找的话，我们需要多次递归，才能找到 1
int mid = 0 + (99 - 0) * (1 - 1)/ (100 - 1) = 0 + 99 * 0 / 99 = 0
比如我们查找的值 100
int mid = 0 + (99 - 0) * (100 - 1) / (100 - 1) = 0 + 99 * 99 / 99 = 0 + 99 = 99
4.3、插值查找应用案例
请对一个有序数组进行插值查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。
代码实现：
import java.util.ArrayList;
//InsertValueSearchTest
public class practice1 {
public static void main(String[] args) {
// int [] arr = new int[100];
// for(int i = 0; i < 100; i++) {
// arr[i] = i + 1;
// }
int arr[] = { 1, 8, 10, 89,1000,1000, 1234 };
int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 1234);
System.out.println("index = " + index);
//System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
//编写插值查找算法
/**
*
* @param arr 数组
* @param left 左边索引
* @param right 右边索引
* @param findVal 查找值
* @return 如果找到，就返回对应的下标，如果没有找到，返回-1
*/
public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
System.out.println("插值查找次数~~");
//注意：findVal < arr[0] 和 findVal > arr[arr.length - 1] 必须需要
//否则我们得到的 mid 可能越界
if (left > right || findVal < arr[0] || findVal > arr[arr.length - 1]) {
return -1;
}
// 求出mid, 自适应
int mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);
int midVal = arr[mid];
if (findVal > midVal) { // 说明应该向右边递归
return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);
} else if (findVal < midVal) { // 说明向左递归查找
return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);
} else {
return mid;
}
}
}
4.4、插值查找注意事项
1、对于数据量较大，关键字分布比较均匀的查找表来说，采用插值查找, 速度较快.
2、关键字分布不均匀的情况下，该方法不一定比折半查找要好
五、斐波那契(黄金分割法)查找算法
5.1、斐波那契(黄金分割法)查找基本介绍
1、黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。
2、斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数 的比例，无限接近 黄金分割值0.618
注：斐波那契(黄金分割法)查找算法，也要求数组是有序的
5.2、斐波那契(黄金分割法)原理:
斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即mid=low+F(k-1)-1（F代表斐波那契数列），如下图所示
对F(k-1)-1的理解：
1、由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。该式说明：只要顺序表的长度为F[k]-1，则可以将该表分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段，即如上图所示。从而中间位置为mid=low+F(k-1)-1
2、类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
5.3、斐波那契查找应用案例
请对一个有序数组进行斐波那契查找{10, 22, 35, 40, 45, 50, 80, 82, 85, 90, 100} ，查找一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就做出提示。
注：i = Math.min(offset + fibM2, n - 1)原理
1、offset 的作用：
offset 记录了已排除元素的位置。在每一轮迭代中，程序会通过斐波那契数系列的计算来寻找一个新的大厅索引 i。这个 i 的值是相对于已经排除的元素偏移的。
2、fibM2 的含义：
fibM2 表示斐波那契数列中的第二个重要值，代表的索引与当前被考虑的元素的相对位置。从而 offset + fibM2 表示了我们希望检查的索引位置。
3、Math.min 的作用：
使用 Math.min(offset + fibM2, n - 1) 保证我们在选取索引 i 时不会超出数组的边界。
offset + fibM2 是计算的目标索引。
n - 1 是数组的最大索引。
代码实现：
public class FibonacciSearchTest {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {10, 22, 35, 40, 45, 50, 80, 82, 85, 90, 100};
int x = 90;
int result = fibonacciSearch(arr, x);
if (result >= 0) {
System.out.println("元素 " + x + " 的索引: " + result);
} else {
System.out.println("元素 " + x + " 不在数组中。");
}
}
// 计算第 n 个斐波那契数
private static int fibonacci(int n) {
if (n <= 1) return n;
return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}
// 斐波那契查找实现
public static int fibonacciSearch(int[] arr, int x) {
int n = arr.length;
// 计算斐波那契数
int fibM2 = 0; // (m-2)'th Fibonacci No.
int fibM1 = 1; // (m-1)'th Fibonacci No.
int fibM = fibM1 + fibM2; // m'th Fibonacci No.
// fibM是最小的Fibonacci数，它大于或等于n
while (fibM < n) {
fibM2 = fibM1;
fibM1 = fibM;
fibM = fibM1 + fibM2;
}
// 代表被切割的数组的起点
int offset = -1;
// 当fibM不为0时，循环查找
while (fibM > 1) {
// 计算索引
int i = Math.min(offset + fibM2, n - 1);
// 如果 x 小于 arr[i]，则切割到左侧
if (arr[i] < x) {
fibM = fibM1;//(m)-->(m-1)
fibM1 = fibM2;//(m-1)-->(m-2)
fibM2 = fibM - fibM1;//(m-2)-->(m-3)=(m-1)-(m-2)
offset = i; // 更新偏移
}
// 如果 x 大于 arr[i]，则切割到右侧
else if (arr[i] > x) {
fibM = fibM2;//(m)-->(m-2)
fibM1 = fibM1 - fibM2;//(m-1)-->(m-3)=(m-1)-(m-2)
fibM2 = fibM - fibM1;//(m-2)-->(m-4)=(m-2)-(m-3)
}
// 找到 x
else return i;
}
// 如果数组最后一个元素等于 x，则返回最后一个元素的索引
if (fibM1 == 1 && (offset + 1 < n) && arr[offset + 1] == x) {
return offset + 1;
}
// 如果找不到 x，则返回 -1
return -1;
}
}
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