【信号处理】卷积、点积与sinc插值的关系

人生导师傅里叶

已于 2024-04-19 16:43:50 修改

阅读量1.2k

点赞数 9

分类专栏：信号处理文章标签：算法 matlab 信号处理

于 2024-04-19 16:40:18 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Gone_Done/article/details/137919939

版权

信号处理专栏收录该内容

1 篇文章

订阅专栏

1 离散卷积

离散时间的卷积本质上是求两个序列的乘积和，公式为：

$y(n)=s(n)\otimes h(n) =\sum_{i=1}^{m}s(n-i)h(i)=\sum_{j=n-m}^{n}s(i)h(n-i)$

m为卷积核h(n)的长度，以序列s(n)={1,3,-1,5,2,6,4,-2}和序列h(n)={1,2,3}为例，m=8，对两个序列进行卷积时，需要将h(n)从左至右通过s(n)，在通过时对两个序列的公共部分相乘求和，即:

$y(1)=\sum_{i=0}^{2}s(1-i)h(i)\newline y(2)=\sum_{i=0}^{2}s(2-i)h(i)\newline y(3)=\sum_{i=0}^{2}s(3-i)h(i)\newline$

$\vdots$

$y(n)=\sum_{i=0}^{n}s(n-i)h(i)$

以上两个序列的计算结果为｛1,5,8,12,9,25,22,24,8,-6｝，其中{1,5}、{8,-6}为部分卷积，中间6个位全卷积[1]。

2 卷积与点积

MATLAB conv函数是一种快速的卷积计算方式，可以进行类似于矩阵A(1×n)与B(n×1)的相乘累加的操作，求出的结果为一个数。

差别在于

矩阵乘法中两个向量的维度需要一致，且只会输出一个值
而卷积过程中两个序列的维度可以不同，会输出多个值。即conv函数定义的“卷积和多项式乘法”

且在计算过程中，可以选择‘full’，‘same’，‘valid’，差别在于对弃置区(未全卷积)的处理方式，功能如下：

‘full’	全卷积（默认值）。｛1 5 8 12 9 25 22 24 8 -6｝
‘same’	与s(n)大小相同的卷积的中心部分。｛5 8 12 9 25 22 24 8｝
‘valid’	仅计算的没有补零边缘的卷积部分。｛8 12 9 25 22 24｝

3 卷积与插值

采样定理表明，可以通过卷积重建信号，核函数为sinc(x)函数，插值信号为：

$g(x)=\sum_{i}g_d(i)sinc(x-i)$

其中x为待插值点，i为原始采样点。插值的原理为卷积，但是这里并不能直接使用conv进行卷积计算，由于conv只能对两个已知的序列进行计算，而不会产生新的待插值点，因此这里不能使用原始信号序列与sinc核序列进行conv计算，实际上这里插值计算需要通过上面的点积来实现。例如8点sinc需要计算8点插值核与8点原始数据的点积，至于插值核如何确定，原始数据如何选取下一篇再讲。

[1] Lan G.Cumming Frank H.Wong.合成孔径雷达成像: 算法与实现[M].电子工业出版社,2012.

以上个人理解，欢迎交流讨论。