UVA12096 题解

这道题虽然被评黄，但个人感觉不止普及组难度，而且是一道很有价值的题目。题解区里全是 $O(n^{2}logn)$ 的 STL 大法，我来发一篇 $O(n^2)$ 哈希做法。目前 0ms 喜提最优解。

这道题是 codeforces gym 的题目，本质上就是模拟栈中集合插入，复制，相加，取交集，取并集的过程。注意，这些集合都是不可重集。 如果你直接把这些括号和逗号存下来肯定是不行的，因为它是一个一层套一层的结构，不好直接维护。况且经过复制，括号总数会指数级增长。

既然直接存储不行，我就想用哈希来表示每个集合里的元素。这样每个集合就是一个 vector，里面存储了每个元素对应的哈希值。比如集合 { { { } } , { { } , { } } } 的 vector 里存储 { { } } 和 { { } , { } } 这两个字符串的哈希。

下面考虑分别维护这五种操作。

1. 对于 PUSH 操作，直接新建一个 vector，里面什么也不存推入栈中。

2. 对于 DUP 操作，直接复制一遍栈顶的 vector 推入栈中。

3. 对于 UNION 操作，我们需要把两个 vector 里的数全部放入新的 vector 内，并且去重。如果这两个 vector 无序，去重需要 $O(nlogn)$ 的复杂度，是不能接受的。所以我们在维护 vector 里的哈希值时，不妨使其有序。 这样，在做 UNION 操作时，就可以归并排序去重了，复杂度 $O(n)$ 。

4. 对于 INTERSECT 操作，和 UNION 一样归并排序找到重复元素即可。

5. 对于 Add 操作，这是最复杂的一个操作。记第一个 vector 为 $v1$，第二个 vector 为 $v2$。则我们要把 $v1$ 这个整体作为一个元素，求出其哈希值并放入 $v2$。但注意：不能设计普通的按位乘法哈希。 至于为什么留给大家自己思考。（提示：括号总数巨大）

   虽然普通哈希不行，但我们有一个很好的性质，就是 v1 内的哈希值是有序的，唯一确定的。于是我们可以把哈希设计成这样：设 v1 内的哈希值为 $h1$，$h2$和$h3$，则有：

   $H(v1)=((h1+\Delta )\times h2+\Delta )\times h3\%P$

   其中 $\Delta$ 和 $P$ 是自己设定的常数。注意计算哈希时还要在每个元素之间加一个逗号，左右两边加上大括号。然后把 $H(v1)$ 用插入排序的方法移到 $v2$ 相应位置。我这里使用了 vector 的 insert 函数，比插入排序快几十倍左右。

最后输出栈顶 vector 的大小即可。

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define f first 
#define s second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb push_back
#define sz(a) a.size()
#define st(a) a.begin()
#define ed(a) a.end()
#define all(a) st(a),ed(a)
#define las(a) *a.rbegin()
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
template<class Typ> Typ &Rd(Typ &x){
    x=0; char ch=gc(),sgn=0;
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=gc()) sgn|=ch=='-';
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc()) x=x*10+(ch^48);
    return sgn&&(x=-x),x;
}
template<class Typ> void Wt(Typ x){
    if(x<0) pc('-'),x=-x;
    if(x>9) Wt(x/10);
    pc(x%10^48);
}
const int N=2005;
const int Ad=1000099;
const int Md=998244353;
vector<int> Hs[N]; char op[10];
int cas,n,stk[N],top;
int main(){
    for(Rd(cas);cas;cas--){
        Rd(n),top=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            Hs[i].clear(),scanf("%s",op+1);
            if(op[1]=='P') stk[++top]=i;
            else if(op[1]=='D'){
                for(auto j:Hs[stk[top]]) Hs[i].pb(j);
                stk[++top]=i;
            }else if(op[1]=='U'){
                int id1=stk[top--],id2=stk[top--],ps=0;
                for(auto cur:Hs[id1]){
                    for(;ps<sz(Hs[id2])&&Hs[id2][ps]<cur;ps++)
                        Hs[i].pb(Hs[id2][ps]);
                    Hs[i].pb(cur);
                    if(ps<sz(Hs[id2])&&Hs[id2][ps]==cur) ps++;
                }
                for(;ps<sz(Hs[id2]);ps++)
                    Hs[i].pb(Hs[id2][ps]);
                stk[++top]=i;
            }else if(op[1]=='I'){
                int id1=stk[top--],id2=stk[top--],ps=0;
                stk[++top]=i;
                for(auto cur:Hs[id1]){
                    while(ps<sz(Hs[id2])&&Hs[id2][ps]<cur) ps++;
                    if(ps<sz(Hs[id2])&&Hs[id2][ps]==cur) Hs[i].pb(cur);
                }
            }else{
                int Hsh=1+Ad,id1=stk[top--],id2=stk[top];
                for(auto cur:Hs[id1]){
                    if(Hsh!=1+Ad) Hsh=((ll)Hsh*2%Md+Ad)%Md;
                    Hsh=((ll)Hsh*cur%Md+Ad)%Md;
                }
                Hsh=((ll)Hsh*3%Md+Ad)%Md;
                if(!count(all(Hs[id2]),Hsh))
                    Hs[id2].insert(lower_bound(all(Hs[id2]),Hsh),Hsh);
            }
            Wt(sz(Hs[stk[top]])),pc('\n');
        }
        puts("***");
    }
    return 0;
}

写在最后：

要真的在联赛出这道题，我说不定就不选这种方法了，虽然保险，但 STL 也有优势，就是简单好写好调试。（而且 CCF 的数据不用多虑）不管怎么说，看到题解区同情 p 党，我也算是 python 的一员，哈希法也算是给 p 党一个可行的尝试方法了，只要把 vector 换成 list 即可。

做黄题让我回想起初一的时光，一去不复返了。也许有一天 OI 会从我脑中淡漠，但那段回忆永远藏着我的心中。