人工智能数学基础之概率论

博客聚焦于人工智能的数学基础,着重介绍了概率论相关内容,为理解人工智能提供必要的数学支撑。

人工智能数学基础之概率论

概率论

概率论人工智能研究中必备的数学基础,在机器学习中扮演核心角色,为人工智能提供理论支持和优化方法,也是理解复杂算法的必备要素[^1][^2][^3]。 在人工智能领域,概率论结合统计学发挥作用。最优化理论作为运筹学的一部分,与概率论紧密相关,它研究判定给定目标函数的最大值(最小值)是否存在,并找到令目标函数取到最值的数值,可类比为判断山脉顶峰位置并找到到达路径的过程。概念方面,涉及凸集(集合内任意两点连线还在集合里)和凸函数(函数上任意两点连线在函数上方)。基本问题包括约束优化(如拉格朗日乘子法 - 线性规划)和无约束优化(如梯度下降法、牛顿法、置信域方法、启发式算法)[^5]。 信息论中的概率论知识也很关键。基本概念有信息熵、条件熵、信息增益 \(I(X;Y)=H(Y) - H(Y|X)\),在机器学习里,信息增益常用于分类特征的选择,\(H(Y)\) 表示未给定特征时对训练集分类的不确定性,\(H(Y|X)\) 表示使用特征 \(X\) 对训练集 \(Y\) 分类的不确定性。还有信息增益比、KL 散度,KL 散度用于描述两个概率分布 \(P\) 和 \(Q\) 之间的差异,具有非负性和非对称性。最大熵原理是确定随机变量统计特性时力图最符合客观情况的准则,对于未知概率分布,等可能性取到每个可能取值时概率分布最均匀,随机程度最高,预测最困难。此外,方差、熵、基尼系数可用于衡量数据的混乱程度[^5]。 ```python # 简单示例:计算信息增益 import numpy as np def entropy(y): classes, counts = np.unique(y, return_counts=True) probabilities = counts / len(y) return -np.sum(probabilities * np.log2(probabilities)) def information_gain(y, feature): H_y = entropy(y) unique_values = np.unique(feature) H_y_given_x = 0 for value in unique_values: subset = y[feature == value] probability = len(subset) / len(y) H_y_given_x += probability * entropy(subset) return H_y - H_y_given_x # 示例数据 y = np.array([0, 0, 1, 1, 0, 1]) feature = np.array([1, 2, 1, 2, 1, 2]) print("信息增益:", information_gain(y, feature)) ```
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