动态规划: 最长重复子数组

最长重复子数组

给定两个整数数组A、B，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例：
输入：
A: [1,2,3,2,1]
B: [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：
长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

Solution

与之前写过的最长公共子序列还是有所区别的，子数组类似于子串，都是连续的。子序列可以是不连续的(注意：可以是不连续的，连续的情况也算是子序列)。
看到求解最值问题，首先可以想到动态规划算法，因此在思考再三之后，有了下面的想法：

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• 确定dp Table的维度，因为有两个数组，可能存在两个维度上的变化，所以先使用二维数组。

• 确定完维度，需要做的就是定义每一个状态的含义，对于本题，已经非常明确地说明需要求解最长公共子数组，那么能给出定义：dp[ i ][ j ]表示A数组索引范围为[ 0, i ]，B数组索引范围为 [ 0, j ]的状态下最长公共子数组的长度 (要说为什么能够想到这个定义，笔者感觉真的就是经验之谈，动态规划的形式见得多了可能会更加自然地想到一些方案，总之就是尽量往 可能会变化的参数 上靠，比如本题，变化的量也很简单，就是单一索引的不同，那么状态转移的时候改变的也就是数组的索引)。

• 得到了每个状态的定义，接下来要推导递推公式，也就是常说的状态转移方程，首先细看一个状态dp[ i ][ j ]，如果此时 A[ i ] != B[ j ]，那么对于 A[0 : i], B[0 : j]范围内肯定是没有公共子数组，将dp[ i ][ j ]置为 0，反之，若 A[ i ] == B[ j ]，那么在A[0 : i], B[0 : j]范围内至少会有一个长度为1的公共子数组(刚发生比较的这两元素)。但是另一方面，若该数组前一个状态 dp[ i - 1][ j - 1]也就是索引范围在 [0 : i - 1] , [ 0 : j - 1]内可能也存在一定长度的公共子数组，因此可以将其拼接起来，总的情况就是：
  

• 初始化dp数组；在递推公式中了解到可能会使用dp[i - 1][ j - 1]，因此在对索引0的位置需要提前维护，一种做法是先将dp[0][j]与dp[i][0]都通过手动比较进行初始化，还有一种方法是对dp数组多加一行一列，这样就防止了越界问题。

在完成以上步骤之后可以写出dp数组了，这里给出示例的dpTable。

Codes

class Solution {
   
   
public:
	int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {