泰勒展開式
a
線性函數是一非常簡單的函數，函數值可很容易求出。在一小區間以一線性函數來逼近一函數，在實際應用時很重要。不但如此，即使在較高等的數學分析中也很重要。
我們將線性函數來逼近函數的想法加以推廣。多項式可說是分析裡所遇到的最簡單函數。對一多項式函數
，任給一
不但可很容易計算出函數值
，有關微分及積分的運算，可說也是最容易的。底下我們將說明，許多函數皆可以一適當的多項式來逼近。
設
為一在
之
次可微的函數，
。我們想找一多項式
，此多項式在與至階導數皆相同（在某種意義下，表與在附近夠接近）。即要滿足下述
個條件
。（1）
故我們試一次多項式，即令
。（2）
在（2）式中令，即得
，故
。其次將（2）式左、右分別對微分，再令，得
，故
。餘此類推，可得
，（3）
其中
。故若一次數不超過之多項式滿足（1）式，則其係數必須滿足（3）式（若
，則之次數為）。反之，若一多項式其係數滿足（3）式，也必滿足（1）式（此多項式之係數有可能大於）。
a
| 定理. 設 |
a
將寫成一
之乘冪，並如前之推導，則可得
。（4）
此為唯一的次數不超過之多項式滿足
。
我們便將（4）式右側之多項式稱為在 
之次泰勒多項式，並以 
表之。
a
例 1. 求 sine 函數在 
之 4 次泰勒多項式。 
a
| 定理. 設 其中 |
a
對一次可微函數，我們介紹在之次泰勒多項式。與在點之值相同，且首階導數相同。但究竟與不一定相同。若令
，則
，
或
。（5）
稱為在之第次餘項。（5）式稱為以為餘項之的泰勒公式，也稱為之一泰勒展開公式，或簡稱泰勒展式。如果我們能估計餘項之大小，則（5）式才較有用。我們想將以一積分來表示，然後再估計此積分之大小。
a
| 定理. 設函數 其中 |
a
底下為對一般的之結果。
a
| 定理. 設函數 其中 |
a
由於泰勒公式中的誤差，可表示成一關於之第階導數的積分，故若知 
之一上、下界，則可得一之一上、下界。
a
| 定理. 設 其中 且 |
，
a
例 2.求 
之近似值。 
a
泰勒展式中的餘項雖已給在（7）式，但尚有一些其他的表示法。首先因（7）式右側積分算子中的
在積分區間中皆未變號，且又假設在此區間中為連續，故由第二章『積分的基本性質及理論』之積分加權均值定理，得
，
其中 
為某介於以，為端點之閉區間中的某點 ( 注意，與不一定那一個大 )。因此餘項可寫成
，（8）
而
。
（8）式稱為 Lagrange 形式之餘項。 
寫成這種形式，看起來與泰勒公式中的前面的項很相似，只不過要代入的是某點而非。又當然與， 及有關。
另外，若
，則得
，
其中介於 0 與間。此特別形式的泰勒展式稱之為Maclaurin 公式。
a
本單元最後我們介紹所謂 
記號 （讀做 the little-oh notation）。
設函數在之某一鄰域
有一連續的第階導數，此時
。
現設 
，其中 
，則由在此閉區間中仍為連續， 得 在此閉區間中為有界。即存在一常數 
，使得
。
故（7）式之餘項滿足
。
因此
。
故若令 
，則 
。
a
| 定義. 設當
表
|
a
在上述定義中，也可以是
或
。只要夠大時，
，且
，
便可寫成
。
符號
涵意為當很接近時，與
相比很小。
a
例 3.(i) 
；
(ii) 
；
(iii) 
；
(iv) 
。
a
我們也常有諸如下式的寫法：
，
此即
。
例如，因
，
故 
。
a
若把記號引入泰勒展式中，且利用前面已指出的 
，則可寫成
，（9）
只要在包含的某閉區間連續。由（9）式可看出，當很接近時，近似於一的次多項式，且誤差與
相比很小。
a
底下為依據我們之前處理過的泰勒展式而有的結果。
。
。
。
a
要留意的是，設有一函數
，則
並非一特定的函數，而是某一與相比很小的函數。
a
| 定理. 當 (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) |
a
例 4.試證 
，當 
。
a
進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 泰勒展開式。微積分講義第四章，國立高雄大學應用數學系。
from: http://www.stat.nuk.edu.tw/cbme/math/calculus/cal2/c4_3/bud.htm
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