算法知识之差分数组（一维）

大家在看我这篇文章之前可以先看一下前缀和的概念

算法基础之前缀和

 

        我们先了解一下差分数组解决什么问题：当你有一个数组，你想要进行m次询问，每次询问为在区间内的每一位加上或减去一个值（即[l, r] + value或[l, r] - value），返回最终询问过后的数组，可能有点抽象，那就举个例子进行理解吧。

        首先有一个数组，还按之前的前缀和的数组来说吧，arr = [1, 5, 8, 2, 13, 6]，我们对其进行3次询问，第一次询问是在下标为[1, 4]的区间内的每个值+5（结果是arr = [1, 10, 13, 7, 18, 6]），第二次询问是在下标为[3, 5]的区间内的每个值+1(结果是arr = [1, 10, 13, 8, 19, 7])，第三次询问是在下标为[0, 2]的区间内的每个值-3(结果是arr = [-2, 7, 10, 8, 19, 7])，我们首先想到的无非就是暴力做法，也就是对每次询问都对询问内的区间进行枚举，然后进行相应的加减运算，当然，询问次数少完全可以这样做，但如果对其询问的次数多了呢？如果数组的长度为n, 进行m次询问的话，这样的最差时间复杂度为O(m * n)，还是挺高的，容易造成超时，我们此刻就可以对其进行优化

        我们观察一下解决的问题，因为我们最终想要得到的是一个更改后数组的结果，所以我们根本不用知道更改过程之间的数组内的每个值，因此就要引入差分数组

        我们用D来表示差分数组，当I = 0时，D[i] = arr[i]，当I > 0时，D[i] = arr[i] – arr[I – 1].根据这个公式，原先arr的差分数组可以表示为D = [1, 4, 3, -6, 11, -7]，仔细观察不难发现，差分数组其实就是前缀和的逆运算，我们反观差分数组D，arr[i] = D[0] + D[1] + D[2]+……+D[i]。

        我们利用的其实就是这个性质，先上公式：当我们想要修改数组中区间的时候，[l. r] + value 等价于D[l] + value, D[r + 1] – value。

        我们对其仍然进行以上三次操作，第一次询问[1, 4]结果为D = [1, 9, 3, -6, 11, -12]，第二次询问[3, 5]，诶？此刻不难发现，在D[r + 1]上数组越界了，怎么办？其实在这里有两种解决方案，一是再额外对差分数组开辟一块内存空间来存放-value，二是不用管他，不写D[r + 1]即可，也就是在这里我们写成D = [1, 9, 3, -5, 11, -12, -1]和D = [1, 9, 3, -5, 11, -12]均可，自己可以自行实现一下证明一下是否一样，这里我们采用第二种写法，第三次询问[0, 2]的结果为D = [-2, 9, 3, -2, 11, -12]，最终的差分数组修改完了，在前面我们知道差分数组就是原数组的前缀和的逆运算，我们对其求每一项的前缀和得到最终的数组D = [-2, 7, 10, 8, 19, 7]可以看到和上文通过枚举求得的最终数组arr是一样的，这就是差分数组，时间复杂度为O(m + n)，适合多次区间操作一次数组询问。

下面是代码模板：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//定义差分数组，这里我们多定义一位，在程序上多消耗一个存储空间可以减少一次
//if语句的判断，来加快运行时间（判断临界的时候）
vector<int>D(7, 0);
void add(int l, int r, int val) {
    D[l] += val;
    D[r + 1] -= val;
}
int main()
{
    vector<int>arr = {1, 5, 8, 2, 13, 6};
    //对差分数组进行初始化
    for (int i = 0; i < 6; i++) {
        if (i == 0)
            D[i] = arr[i];
        else
            D[i] = arr[i] - arr[i - 1];
    }
    //对区间进行加减操作
    add(1, 4, 5);
    add(3, 5, 1);
    add(0, 2, -3);
    //求得差分数组的每一项的前缀和
    for (int i = 1; i < 6; i++) {
        D[i] += D[i - 1];
    }
    //输出结果
    for (int i = 0; i < 6; i++) {
        cout << D[i] << " ";
    }

    system("pause");
    return 0;
}