线段树小结

今天做了一些线段树的题，在此简单总结一下。

首先先引入问题：

假设有一个长度为n的数组，对这个数组进行多次如下操作：

1.查询[l,r]区间内的最大/小值，或者是查询[l,r]区间内的元素和；

2.修改数组中某一个元素的值，或者是修改[l,r]区间内的每一个值（都加v）。

如果用朴素方法，那么查询k次的复杂度是O(kn)，在k和n都比较大的情况下，这个复杂度远远不能令我们满意，这时线段树这一数据结构应运而生，它的每一次查询和修改操作都可以在logn的复杂度下完成。

闲话不多说，直接讲解一下线段树的几个基本操作。

首先是线段树的结构体：

const int N = 1e5+10;
struct Node{
	int left, right;//该节点维护的是[left,right]区间的信息
	int sum,max;    //sum为[left,right]区间内的元素和，max为最大值
}tree[N<<2];

我的理解是线段树有点类似二叉堆，同样都是满二叉树，可以很方面的保存在数组中，并且用移位运算很便捷的找到父节点或者儿子节点。

1.既然线段树是一种二叉平衡搜索树（BBST），那么首先要建树，代码如下：

void build(int id, int l, int r)	//自顶向下递归建树 
{
    tree[id].left = l;
    tree[id].right = r;
    if(l == r)
    {
        scanf("%d", &tree[id].sum);	//递归基 ，区间为1的情况，对应的是叶子节点
    }
    else
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        build(id*2, l, mid);		//建左子树 
        build(id*2+1, mid+1, r);	//建右子树 
        tree[id].sum = tree[id*2].sum + tree[id*2+1].sum;    
    }
}

2.接下来的操作是修改某个叶子节点的值：

void update(int id, int pos, int val)
{
    if(tree[id].left == tree[id].right)
        tree[id].sum += val;		//将叶子节点的值加val 
//		tree[id].sum = val; 		//将叶子节点的值修改为val 
    else
    {
        int mid = (tree[id].left + tree[id].right) / 2;
        if(pos <= mid)
            update(id*2, pos, val);
        else
            update(id*2+1, pos, val);
        tree[id].sum = tree[id*2].sum + tree[id*2+1].sum;    
    }
}

3.最后一个操作是查询某个区间：

int query(int id, int l, int r)
{
    if(tree[id].left == l && tree[id].right == r)
        return tree[id].sum;
    else
    {
        int mid = (tree[id].left + tree[id].right) / 2;
        if(r <= mid)
            return query(id*2, l, r);
        else if(l > mid)
            return query(id*2+1, l, r);
        else
            return query(id*2, l, mid) + query(id*2+1, mid+1, r);
    }
}