最大公约数与最小公倍数

最大公约数

1. 辗转相除法
       原理：假设用f(x,y)表示x,y的最大公约数，取k=x/y,b=x%y,则x=ky+b，如果一个数能够同时整除x,y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整数x和y，即x和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f(x,y)=f(y,x%y)(x>=y>0),如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到一种一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。
示例如下：
f(42,30)=f(30,12)=f(12,6)=f(6,0)

解法一

int gcd(int x,int y)
{
    return (!y)?x:gcd(y,x%y);
}

2. 辗转相减法
       解法一用到了取模运算。对于大整数而言，取模运算（其中用到除法）是非常昂贵的开销，将成为整个算法的瓶颈。
       如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除x-y和y；而能够同时整除x-y和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与x-y和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，即f(x,y)=f(x-y,y)，那么就可以不再需要进行大整数的取模运算，而转换成简单的多的大整数的减法。
示例如下：
f(42,30)=f(30,12)=f(12,18)=f(12,6)=f(6,6)=f(6,0)=6

具体代码如下

BigInt gcd(BigInt x,BigInt y)
{
    if(x<y)
	return gcd(y,x);
    if(y==0)
	return x;
    else
        return gcd(x-y,y);	
}

BigInt是一个大整数类。不足之处在于就是迭代次数比之前的多，如遇到(10000000000000,1)。

3. 最优解法
    1. 若f(x,y)均为偶数，f(x,y)=2*f(x/2,y/2)=2*f(x>>1,y>>1)
    2. 若x为偶数，y为奇数，f(x,y)=f(x/2,y)=f(x>>1,y)
    3. 若x为奇数，y为偶数，f(x,y)=f(x,y/2)=f(x,y>>1)
    4. 若x,y均为奇数，f(x,y)=f(y,x-y),那么在f(x,y)=f(y,x-y)之后，(x-y)是一个偶数，下一步一定会有除以2的操作。

因此，最坏情况下的时间复杂度是O(log(max(x,y)))。

BigInt gcd(BigInt x,BigInt y)
{
    if(x < y)
	return gcd(y,x);
    if(y == 0)
        return x;
    else{
    	if(IsEven(x){
            if(IsEven(y))
		return (gcd(x>>1,y>>1) << 1);
	    else
		return gcd(x>>1,y);
        else{
	    if(IsEven(y))
		return gcd(x,y>>1);
	    else
     	 	return gcd(y,x - y);	
        }
    }
}

最小公倍数

       最小公倍数等于两个数的乘积除以两数的最大公约数。

       假设有两个数a和b，求a和b的最小公倍数，即a*b/(a和b的最大公约数)。例如：求18与12的最小公倍数。18与12 的最大公约数为6，18与12的乘积为216。因此a和b的最小公倍数为216/6=36。

下面是编程实现：

int lcm(int a, int b)
{
    int product=a*b;
    int g=gcd(a,b);
    return product/g;
}