网络流之费用流模型

原创已于 2023-04-13 00:48:36 修改 · 873 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#学习 #算法 #图论

于 2023-01-07 16:14:47 首次发布

算法学习笔记专栏收录该内容

9 篇文章

订阅专栏

费用流：给定一个网络 G，每条边除了有容量限制 $c(u,v)$ ，还有一个单位流量的费用 $w(u,v)$ 。当 $(u,v)$ 的流量为 $f(u,v)$ 时，需要花费 $f(u,v) \times w(u,v)$ 的费用。（来源：OI-Wiki）

1、算法模板及简单应用（SSP算法）

还记得我们最大流所用到的第一个方法EK算法吗？EK算法的思路就是每次在残留网络中找到一条增广路增广。如果算上费用流的话我们只需要考虑每次找到一条费用最小的增广路即可。我们可以用数学归纳法证明：

命题：在每次找增广路时都找费用最小的增广路，最后求出的最大流一定是最小费用流

证明：设 $|f|$ 是一条可行流， $|f'|$ 为我们找到的最小费用增广路，|F|为最大流， $|F_{min}|$ 为最小费用流。

由于 $|f|+|f'|=|F|$ ，反证法我们找到的最大流不是最小费用流，

那么 $|F|>|F_{min}|$ ，

则 $|F|-|f|>|F_{min}|-|f|$ ，

也就是 $|f'|>|f_{min}|$ ，说明有一条费用更小的增广路，这与我们命题相矛盾

所以命题成立。

那么如何找到费用最小的增广路呢？

EK算法里我们是用bfs搜索在残留网络上找到一条从源点到汇点的增广路，这里的边对于bfs来说其实相当于没有边权，因为只有走和不走两种选择。而费用流就相当于边权，那么考虑最短路中带权的模型，我们只需要把EK算法中的bfs换成spfa即可。这种算法又叫SSP算法。

唯一的缺陷在于spfa无法处理有负权回路的情况，如果遇到带负权的情况，需要用到一个消圈定理（此处放个超链接）。

看一下模板题和代码（来源：Acwing）：

给定一个包含 n 个点 m 条边的有向图，并给定每条边的容量和费用，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环，保证费用不会存在负环。

求从 S 到 T 的最大流，以及在流量最大时的最小费用。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 5010, M = 100010, INF = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N], incf[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c, int d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

bool spfa()
{
    int hh = 0, tt = 1;
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    memset(incf, 0, sizeof incf);
    q[0] = S, d[S] = 0, incf[S] = INF;
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (f[i] && d[ver] > d[t] + w[i])
            {
                d[ver] = d[t] + w[i];
                pre[ver] = i;
                incf[ver] = min(f[i], incf[t]);
                if (!st[ver])
                {
                    q[tt ++ ] = ver;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[ver] = true;
                }
            }
        }
    }

    return incf[T] > 0;
}

void EK(int& flow, int& cost)
{
    flow = cost = 0;
    while (spfa())
    {
        int t = incf[T];
        flow += t, cost += t * d[T];
        for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1])
        {
            f[pre[i]] -= t;
            f[pre[i] ^ 1] += t;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c, d;
        scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);
        add(a, b, c, d);
    }

    int flow, cost;
    EK(flow, cost);
    printf("%d %d\n", flow, cost);

    return 0;
}

作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/457817/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。