poj 3356 AGTC（dp 求最短编辑距离）

AGTC

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Description

Let x and y be two strings over some finite alphabet A. We would like to transform x into y allowing only operations given below:

• Deletion: a letter in x is missing in y at a corresponding position.
• Insertion: a letter in y is missing in x at a corresponding position.
• Change: letters at corresponding positions are distinct

Certainly, we would like to minimize the number of all possible operations.

Illustration

A G T A A G T * A G G C

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A G T * C * T G A C G C

Deletion: * in the bottom line
Insertion: * in the top line
Change: when the letters at the top and bottom are distinct

This tells us that to transform x = AGTCTGACGC into y = AGTAAGTAGGC we would be required to perform 5 operations (2 changes, 2 deletions and 1 insertion). If we want to minimize the number operations, we should do it like

A  G  T  A  A  G  T  A  G  G  C

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A  G  T  C  T  G  *  A  C  G  C

and 4 moves would be required (3 changes and 1 deletion).

In this problem we would always consider strings x and y to be fixed, such that the number of letters in x is m and the number of letters in y is n where n ≥ m.

Assign 1 as the cost of an operation performed. Otherwise, assign 0 if there is no operation performed.

Write a program that would minimize the number of possible operations to transform any string x into a string y.

Input

The input consists of the strings x and y prefixed by their respective lengths, which are within 1000.

Output

An integer representing the minimum number of possible operations to transform any string x into a string y.

Sample Input

10 AGTCTGACGC
11 AGTAAGTAGGC

Sample Output

4

大致题意：

给出两个字符串x 与 y，其中x的长度为m，y的长度为n，并且m<=n
然后y可以通过删除一个字母，添加一个字母，转换一个字母，三种操作得到x
问最少可以经过多少次操作。

其实这个是最短编辑距离的算法，算法实现采用动态规划算法，其求解过程类似于求两字符串的最长公共序列（LCS）。

编辑距离概念描述：

编辑距离，又称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。

例如将kitten一字转成sitting：

1. sitten （k→s）
2. sittin （e→i）
3. sitting （→g）

俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。

问题：找出字符串的编辑距离，即把一个字符串s1最少经过多少步操作变成编程字符串s2，操作有三种，添加一个字符，删除一个字符，修改一个字符

解析：

首先定义这样一个函数——edit(i, j)，它表示第一个字符串的长度为i的子串到第二个字符串的长度为j的子串的编辑距离。

显然可以有如下动态规划公式：

• if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
• if i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = j
• if i > 0 且j == 0，edit(i, j) = i
• if i ≥ 1  且 j ≥ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，当第一个字符串的第i个字符不等于第二个字符串的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。

对于此题的分析：

类似于最长公共子串

用dp[i][j]表示a的前i个基因序列 变为 b的前j个基因序列 需要的最少操作数
则：
dp[i][j] =  min
{
若 a[i] == b[j] 
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
若 不等：
插入：dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;
删除: dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1;
替换：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}
注意初值：
dp[0][0] = 0;
dp[i][0] = i;
dp[0][i] = i;

#include 
     
      
#include 
      
       
#include 
       
        
#include 
        
         

using namespace std;

int m,n,dp[1010][1010];//dp[i][j]表示，a的前i个基因序列变为b的前j个基因序列需要的最少操作数

int main()
{
    char a[1010],b[1010];
    while(scanf("%d%s",&m,a)!=EOF)
    {
    	memset(dp,0,sizeof(dp));
        scanf("%d%s",&n,b);
        for(int i=0;i<=m;i++)
        {
        	dp[i][0]=i;
        }
        for(int j=0;j<=n;j++)
        {
        	dp[0][j]=j;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(a[i-1]==b[j-1])
                {
                	dp[i][j]=min(min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]+1),dp[i][j-1]+1);//始终等于最小的操作数
                }
                else 
                {
                	dp[i][j]=min(min(dp[i-1][j-1]+1,dp[i-1][j]+1),dp[i][j-1]+1);//始终等于最小的操作数
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[m][n]);
    }
    return 0;
}