CF #582 Div.3 C - Book reading （思维题，简单预处理）

本文介绍了一种高效算法，用于计算从1到n范围内所有m的倍数的个位数字之和，避免了暴力计算的复杂度。通过发现倍数的周期性规律，将问题分解为完整周期和剩余部分的计算，显著提高了计算效率。

题目要求输出从 1 ~ n 中所有 m 的倍数的个位数之和。

n很大，暴力肯定不行，而但凡是数，都有一定的规律性，

一个数的倍数又有什么规律呢？

以 3 为例，

1倍就是一个3，两倍就是两个3相加，三倍就是三个 3 相加，直到十倍，以十倍为一个循环，十一倍时又是一个新的循环的开始，

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 | 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 .....

很容易看出每相隔 30 ，3的所有倍数的个位数之和都是一个定值， 3 + 6 + 9 + 2 ....+...+ 7

所以我们只需要求出 n 中有几个30 然后在乘以 3 + 6 + 9 + 2 ....+...+ 7，就先算出了1 ~ (n / 30)* 30 的答案。

最后，加上 n - (n/30) * 30 中 3 的倍数的个位数之和就OK了。

代码：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
#define ll unsigned long long
ll f(ll m,ll &q){  
	ll sum = 0;
	for(ll i = m,j = 2; i%10!=0;j++ ){  // 将 m 分别与 1 ~ 9 相乘， 记录 m ~ m*9 中不同个位的和. 
		sum+=i%10;
		i = m * j;
		q = i;
	}
	return sum;
}
int main(){
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		ll m;ll n;
		cin>>n;	
		cin>>m;
                // 剪枝不加这一步会超时,当m为10的倍数， m的所有倍数的个位都是0，直接输出0 
		if(m % 10 == 0|| n < m) {cout<<"0"<<endl; continue;}   
		if(n == m) {cout<<n%10<<endl; continue;} //当n==m 直接输出n%10 
		
		ll sum = 0, q, p;	 // q保存当m的倍数的个位数再次重复出现时的第一个值。则 每 一个 q , 都含有
		
		p = f(m,q);  // p保存从m~q的所有个位不同的倍数的数量。 
		ll y = n / q; // 则 n / q 是  n 中 一共有几个 q, n不能为10的倍数，否则此处会除以0！  
		sum = y * p;  //每隔 q,m的不同个位的倍数之和都为p  所以 sum = y * p； 
		n = n - y *q; //然后算剩下的数 
	
		if(n){
			for(ll i = m,j = 2; i<=n;j++){
				sum+=i%10;
				i = m*j;
			}	
		}	
		cout<<sum<<endl;
	}
	return 0;
}