算法笔记：DP(总）

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于 2024-04-27 10:41:03 首次发布

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本文介绍动态规划的三种主要类型：区间DP、背包DP及DP优化方法。详细解释了每种类型的适用场景、时间复杂度，并通过实例说明如何进行状态定义与转移方程设定。

一.区间DP

dp[l][r]：l，r为左右端点

1.基于左右两端点的可能性讨论

时间复杂度一般为O（n^2）

2.基于区间划分点的可能性讨论

时间复杂度一般为O（n^3）

3.前两种混合

二.背包DP

dp[i][j]：i为物品种类，j为背包属性（重量等）

1.背包问题一般先枚举物品种类，再枚举其他变量。

因为先枚举物品种类，会使递推式中物品种类选择是固定的。（比如先枚举的1物品，在2物品枚举之前，不会出现2物品，只有1物品）
而先枚举比如背包重量，其中的物品种类是不确定的。（比如枚举到重量为k，其中的物品种类你无法确定）
因此先枚举物品种类可以确保不出现重复问题。

2.分类：

设当前物品重量为k

01背包：

if j >= weight[i]:
dp[i][j] = max(不选当前物品: dp[i-1][j],
选当前物品: dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])
else:
dp[i][j] = dp[i-1][j] # 无法选当前物品

01背包滚动数组优化：

for i in range(0,n-1): # 遍历物品
for j in range(W,weight[i]) : # 逆序遍历容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i])

完全背包：dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][j-k])（枚举j）

多重背包，将每个物品数量转化为二进制，dp式与01背包一样

分组背包：01背包套01背包

子集和、等和分割、目标组合数等问题均可转化为背包模型

三.最简易的DP优化——滚动数组优化

正序与逆序

注意，正序或逆序取决于DP式传递的方向，下面使用dp[i] = dp[i-k]*(……)为例

如果正序，则会出现覆盖的情况

dp[i] = dp[i-k]*(……)，dp[i]已经变成了一个新的值。dp[i+k] = dp[i]*(……)，而由于dp[i]已经被新的值覆盖导致错误。

而逆序能保证不出现覆盖

因此01背包是逆序
而完全背包是正序（因为完全背包本身就允许物品覆盖，因为一件物品可以使用无限多次）

四.树形dp

树形dp可以解释为：用子问题的解来解决父问题。

树形dp维护以当前节点为根的树（子树）问题的解。

树形dp要依次遍历当前节点的每个孩子，依次得到每个子树的解。

根据如何处理每个子树，树形dp常见的可以有：

01背包树形dp：每个子树要么选要么不选

分组背包树形dp：当前节点有k个可分配元素，每个子树只能分配一个值，返回一个值

普通树形dp：每个子树得到的解都要，当遍历到第i个孩子（子树）时，之前所有子树的解记录在dp[i-1][……]中

五.状态dp

用二进制表示状态，用状态递推。

注意开始要选好对应顺序，可以正序也可以逆序，个人习惯用逆序。

原数组：0111，正序：7（0111），逆序：14（1110）。

状态dp常用函数：

注意：以下所有函数都是逆序对应的，且标号从0开始

//以下所有函数都是逆序对应的，且标号从0开始

//修改某一位
int change(int x,int i,int k){
    x=x&(~(1<<i));//将第i为设为0
    x = x | (k << i); // 将第i位设为k
    return x;
}

//判断当前状态是否存在相隔的距离小于k的1
//k==1时，就是判断是否存在相邻的1
bool judge(int x,int k){
    return !(x&(x<<k))&&!(x&(x>>k));
}

//得到某一位的状态
int get(int x,int k){
    return (x>>k)&1;
}