现代计算机图形学入门（一）——线性代数基础

最新推荐文章于 2025-10-31 15:51:14 发布

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#图形学

本文详细介绍了向量的点乘和叉乘概念及其在图形学中的应用，包括计算夹角、判断方向、向量分解等。同时，阐述了矩阵乘法的规则及特性，并探讨了向量乘法与矩阵的关系。此外，讨论了线性变换、齐次坐标在图形变换中的重要性，以及如何利用它们进行平移、旋转等操作。最后，提到了三维空间的定义及其变换顺序。

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文章目录

一、向量的乘法（Vector Multiplication）
- 1.点乘（Dot product）
- 2.叉乘（Cross product）
二、矩阵（Matrix）
三、变换（Transformation）

一、向量的乘法（Vector Multiplication）

1.点乘（Dot product）

首先定义两个向量点乘的计算公式是，对应元素相乘再相加
在这里插入图片描述
因此两个向量的点乘的结果是一个数字，其在几何上的意义则是

因此在图形学中经常逆用该方法，通过向量的点乘之积来推得向量的夹角。

特殊的，若两个向量都是单位向量，那么两个向量的夹角余弦就是他们的点乘。
在这里插入图片描述
除此之外，还会用点积来求出某个向量在另一个向量上的投影，例如b向量在a向量上的投影

通过向量的投影，我们可以得出两个向量有多么接近，即根据点乘的结果正负来知晓两个向量离得远近，以此来分解一个向量
在这里插入图片描述
以下式子便是将三维的向量分解到了三维坐标轴上

除此之外，还可以通过点乘来判断两个向量的方向性，通过值来判断两个向量在方向上是多么接近，是方向基本一致，还是方向基本相反，还是互相垂直。
在这里插入图片描述
这里是向量点乘的一些基本属性

总结一下，在图形学中，向量的点乘有这几个应用：
①求两个向量之间的夹角
②判断两个向量在方向上有多接近
③分解向量

2.叉乘（Cross product）

两个向量通过叉乘得出的会是一个向量，计算出的向量与原本的两个向量都要垂直，所以叉乘得到的结果一定与原来两个向量不在一个平面内。
在这里插入图片描述
我们通过右手螺旋法则来判定a和b向量叉乘的向量的方向，即四指方向为由a转向b，拇指方向即为叉积的方向。需要注意的是，向量的叉积并不满足交换定律（与点乘不同），因为不同方向得到的向量会方向相反，在图形学中经常运用向量的叉积来建立直角坐标系，如果在一个坐标系中x叉乘y得到的向量是z，那么我们就说建立的是一个直角坐标系，那么同时她也满足一下这些公式。