背包问题（0-1背包、完全背包、多重背包标准代码展示）

w[i]表示第i个物品的体积，v[i]表示第i个物品的价值。

dp[i][j]表示背包容量为j的情况下，从前0-i个物品中可以选到的最大价值。

一、0-1背包

二维数组

int n,m;
cin >> n>>m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j <= m; j++) {
		if (j < w[i])
			dp[i]= dp[i - 1][j];
		else
			dp[i]=max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
	}
}

一维滚动数组

将原二维数组的每一行看做同一个数组不同时间步的呈现。相当于不需要存储每个时间步的数据了，直接不断更新一个数组就行了。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
		dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
	}
}

二、完全背包

二维数组

//第0行和第0列全部为0
for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j <= m; j++) {
		dp[i][j] = dp[i - 1][j];
		if (j >= w[i]) {
			dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}
	
}

一维滚动数组

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = w[i]; j <= m; j++) {
		dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
	}
}

三、多重背包

普通版本

for (int i = 1; i <= n; i++) {
  for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
    // 多遍历一层物品数量
    for (int k = 1; k * w[i] <= j && k <= cnt[i]; k++) {
      dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * w[i]] + k * v[i]);
    }
  }
}

二进制优化版本

int n, m, pos = 0;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
	int v1, w1, s, k = 1;
	cin >> v1 >> w1 >> s;
	while (k <= s) {
		v[++pos] = v1 * k;
		w[pos] = w1 * k;
		s -= k;
		k *= 2;
	}
	if (s > 0) {
		v[++pos] = v1 * s;
		w[pos] = w1 * s;
	}
}

for (int i = 1; i <= pos; i++) {
    for (j = m; j >= w[i]; j--) {
		dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
	}
}

四、分组背包

0-n个物品分属不同组，每个组只能取一个。

for (int k = 1; k <= ts; k++)          // 循环每一组
  for (int i = m; i >= 0; i--)         // 循环背包容量
    for (int j = 1; j <= cnt[k]; j++)  // 循环该组的每一个物品
      if (i >= w[t[k][j]])             // t[k][j]表示第k组第j个物品在全部物品中的编号
        dp[i] = max(dp[i],dp[i - w[t[k][j]]] + c[t[k][j]]);  //状态转移方程