[算法题][延伸][基础函数探究] 实现log函数

算是Leetcode上求平方根的延伸版：
Leetcode 69. x的平方根

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原始的 Sqrt(x)

描述：
实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

原题有两种主要解法：

二分法

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        if x == 0 or x == 1:
            return x
        if x == 2:
            return 1
        i = 0
        j = x
        for idx in range(x):
            h = int((i+j)/2)
            r = h**2
            l = (h-1)**2
            if l >x:
                j = h
            if r < x:
                i = h
            if r == x:
                return int(h)
            if l<=x and r>x:
                return int(h-1)

牛顿法

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        if x<=1:
            return x
        cur = x/2
        thresh = 1e-5
        while True:
            pre = cur
            cur = (cur + x / cur) / 2
            if abs(cur - pre) < thresh:
                return int(cur)

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所要实现的 log(x, base)

描述：
给定一个可允许的误差 error
给定${\log }_{b}x$中的base和x
求在误差error范围内的log函数

思考：
那么不难看出，方法也大致符合上面两种方法，也用二分法和牛顿法就可以了，但是其实还有更多的方法来做，如泰勒级数和算术几何平均近似，这里可以科学上网参考wiki 传送门

其中一种思路：
设${\log }_{b}x=g(x)$
那么实际上要求：寻找一个$y$，使得$g(x)-y\le \text{error}$
那么由${\log }_{b}x=g(x)$ 可得 $b^{g(x)}=x$
也就是说寻找一个$y$，使得 $|b^y-x|<\text{error}$

下面是两种主要解法：

二分法

最暴力的解法了，不过这个需要根据log函数的实际情况设置好初始最小值和最大值，避免幂运算的时候超出最大表示范围：

def log(x, base, error):
    """Need set minv maxv"""
    if x < 0:
        raise ValueError('X can not less than 0')
    if base < 0 or base == 1:
        raise ValueError('base can not less than 0 or equal 1')
    if x == 1:
        return 0
    
    minv = -1e4
    maxv = 10
    while True:
        mid = (minv + maxv) / 2
        r = base ** mid
        if abs(x - r) <= error:
            return mid
        if r > x:
            maxv = mid
        if r <= x:
            minv = mid

牛顿法

这里的牛顿法就要好很多了，不用给出最大值最小值的范围
原目标是寻找一个$y$，使得 $|b^y-x|<\text{error}$
那么实际上可以认为我们需要求解方程：
$f(y)=b^y-x=0$
根据牛顿法的公式：
$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$
代入我们设定的符号，可得：
$y_{n+1}=y_n+\frac{f(y)}{f^{\prime }(y)}$
即：
$y_{n+1}=y_n+\frac{b^{y_n}-x}{b^{y_n}\cdot \ln b}$
实际上还面临着$\ln b$的求解问题，这时为了节省运算时间我们让$\ln b=1$
或者也可以采用 $a_{n+1}=a_n+\frac{\exp (a_n)-b}{\exp (a_n)}$ 的方式得出一个大致的$\ln b$，如误差在1e-2即可。

"""牛顿法1"""
def log(x, base, error):
    if x < 0:
        raise ValueError('X can not less than 0')
    if base < 0 or base == 1:
        raise ValueError('base can not less than 0 or equal 1')
    if x == 1:
        return 0

    y = 1
    while True:
        y_ = y
        y = y + (x - base ** y) / (base ** y)
        if abs(y - y_) < error:
            return y

对于$\ln x$的求法，wiki上给出了对$\exp (y/2)-x\exp (y-2)=0$进行优化，即求：$y_{n+1}=y_n+2\cdot \frac{x-\exp (y_n)}{x+\exp (y_n)}$
仿照这个式子，下面有：

"""牛顿法2"""
def log(x, base, error):
    if x < 0:
        raise ValueError('X can not less than 0')
    if base < 0 or base == 1:
        raise ValueError('X can not less than 0')
    if x == 1:
        return 0

    y = 1
    while True:
        y_ = y
        y = y + 2 * (x - base ** y) / (x + base ** y)
        if abs(y - y_) < error:
            return y

比较

log(x=3, base=6, error=1e-5)
0.6131471927654585  # math.log 系统给出的方法
0.6131471623666584  # 二分法  error = 3.039880003274931e-08 loop=31
0.6131431996226185  # 牛顿法1 error = 4.269444931814803e-06 loop=44
0.6131514622103903  # 牛顿法2 error = 3.99314283994201e-06  loop=47

在base更大的时候，循环次数loop差距会更大，但是几种方法的优劣差距不变

其他

求解${\log }_{b}x$还是要比$\ln x$麻烦很多的，二分法会更省事，其次求解log在java里面采用位运算的方法，具体如何实现的可以考虑看下源码，这里不做过多讲解了。另外关于$\ln x$的求法可以参考wiki，利用类似于泰勒级数的方法求得：

$\ln (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...$

或者$\ln (1+\frac{1}{n})=2(-\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{3(2n+1{)}^3}+\frac{1}{5(2n+1{)}^5}...)$