[校内模拟]拯救（递推）

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题解

这题年代可久远了。。似乎是今年寒假还是什么时候Loli的测试题来着？反正ATP当时太水了不会做。。。现在越看越觉得当时很蛋疼= =

不过看这个题目的话，首先它的目标状态是把所有的都变成0，所以会有一个f[i]表示把前i个都变成0所需要的最少步数；其次，它要改变第i个点的状态一定是把前i-2个变成0并且把第i-1个变成1，这种状态我们称为对于点i的“可修改状态”，那么就再设一个g[i]表示把前i个字符变成对于点i+1的“可修改状态”所需要的最少步数。

那么对于f[i]的递推，分成第i个字符是0还是1两种情况来讨论。如果第i个字符是0的话，那f[i]可以直接继承f[i-1]的结果；如果第i个字符是1的话，那就要先把前i-1个字符变成对于点i的“可修改状态”，就是g[i]；然后再把第i个字符变成0，就加一；然后还要把前i-1个字符变回去。把前i个字符从“可修改状态”变成全是0的状态这个可以直接用式子算出来。很容易得到递推公式就是$K_1=1,K_i=2*K_{i-1}+1$，那么$K_i=2^i-1$。

对于g[i]，如果第i个字符是1的话那直接就是f[i-1]，否则要先把前i-1个变成“可修改状态”，就是g[i-1]，然后改一下第i个再把前i-1个还原，和上面说的f[i]的第二种情况是一样的。

总的来说就是：

$$f[i]= \begin{cases} f[i-1], & \text{a[i]=0} \\[2ex] g[i-1]+1+2^i-1, & \text{a[i]=1} \end{cases}$$ $$g[i]= \begin{cases} f[i-1], & \text{a[i]=1} \\[2ex] g[i-1]+1+2^i-1, & \text{a[i]=0} \end{cases}$$

诶好像f和g两个数组就是倒过来倒过去的啊，所以是不是可以搞到一起去啊。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define inc(x)(x=(x%200000)+1)
using namespace std;
int n,a[1010];
long long f[1010],g[1010];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
      if (a[i]==0)
      {
          f[i]=f[i-1];
          g[i]=g[i-1]+1+((1<<(i-1))-1);
      }
      else
      {
          f[i]=g[i-1]+1+((1<<(i-1))-1);
          g[i]=f[i-1];
      }
    printf("%I64d\n",f[n]);
    return 0;
}