[CodeVS3012]线段覆盖4（DP+二分）

最新推荐文章于 2023-08-16 16:10:42 发布

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#DP #二分

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该博客介绍了如何使用动态规划（DP）和二分查找优化算法来解决线段覆盖问题，以应对大数据范围。博主首先阐述了O(n^2)的DP解法，然后提出通过排序线段按右端点并利用二分查找来降低时间复杂度至O(nlogn)，同时分享了相关代码和补充说明。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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这里放传送门

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题解

这道题如果是 $O(n^2)$ 的DP是比较好想的，用f[i]表示选了前i条线段并且第i条必选的最大价值，每次枚举一个线段i的时候枚举它前面不和它重叠的线段j，用f[j]+val[i]更新。但是数据范围这么大就要考虑优化了。优化这种DP的话比较好想的思路就是省掉内层循环。内层循环干的事情有两个，一个是找出1..i-1范围内不和第i条线段重合的线段，二是在这些合法的线段里面找一个f最大的来更新f[i]。那么如果把所有线段按照右端点排序，那么只要找到了右端点小于i的左端点的最大的那个j，那么1..j显然都是符合要求的线段。而我们要查询的最大值就变成了一个前缀最大值，可以用一个数组直接维护。右端点排序以后寻找那个最大的j就可以用二分来解决。时间复杂度 $O(nlogn)$ 。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
long long f[1000010],v[1000010],tot=0;
struct seg{
    int l,r,c;
}a[1000010];
int comp(seg a,seg b)
{return a.r<b.r;}
long long max(long long a,long long b)
{return (a>b)?a:b;}
int divide(int h,int t,int n)
{
    int mid=(h+t)>>1;
    if (h==t) return h;
    if ((h+t)%2==1) ++mid;
    if (a[mid].r<=a[n].l)
      return divide(mid,t,n);
    else return divide(h,mid-1,n);
}
int main()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(v,0,sizeof(v));
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d%d%d",&a[i].l,&a[i].r,&a[i].c);
    sort(a+1,a+n+1,comp);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int j=divide(0,i-1,i);
        f[i]=v[j]+a[i].c;
        v[i]=max(f[i],v[i-1]);
    }//以下为原始DP代码
/*    for (int j=0;j<i;j++)
        if ((a[j].r<=a[i].l)&&(a[i].c+f[j]>f[i]))
          f[i]=f[j]+a[i].c;*/
    printf("%lld\n",v[n]);
    return 0;
}