三期集训第八天---求组合数

    求组合数有四种方法

从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的数目

公式

性质

（1） C ( n , m ) = C ( n , n - m ) = C ( n - 1 , m - 1 ) + C ( n - 1 , m ) （2）

实现方法1（杨辉三角）

杨辉三角第 i 行第 j 列对应 C ( i ，j ) 的结果 用动态规划求从 n 个元素中取出 m 个元素的所有组合个数 c [ i ] [ j ] :在 i 个元素中选 j 个 对于当前状态 i j ，可以由两种情况转移而来： 1、前 i - 1 个元素选了 j 个 1、前 i - 1 个元素选了 j - 1 个 即 c [ i ] [ j ] = c [ i - 1 ] [ j ] + c [ i - 1 ] [ j - 1 ] 预处理 c [ i ] [ 0 ] = c [ i ] [ i ] = 1 ( 左右边界 1 )

//求组合数一(递推)
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 2010;
const int mod = 1e9 + 7;

int c[N][N];

void init() {
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		for (int j = 0; j <= i; j++) {
			if (!j) {
				c[i][j] = 1;
			}
			else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
		}
	}
}

int main() {
	init();
	int n;
	cin >> n;
	while ( n -- ) {
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		printf("%d\n", c[a][b]);
	}
	return 0;
}

实现方法2（逆元）

乘法逆元 ：( a / b ) % mod = a * ( b ^ ( mod - 2 ) ) % mod， mod为质数 b 的逆元就是 b ^ ( mod - 2 )

//求组合数二(预处理阶乘||逆元)
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 100010, mod = 1e9 + 7;

int fact[N], infact[N];
int qmi(int a, int b, int k) {
	int res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) res = (ll)res * a % k;
		a =(ll) a * a % k;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}


	


int main() {
	fact[0] = infact[0] = 1;
	for (int i = 1; i < N; i++) {
		fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % mod;
		infact[i] = (ll)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
	}

	int n;
	scanf("%d", &n);
	while (n--) {
		int a, b;
		scanf("%d%d", &a, &b);
		printf("%d\n",(ll) fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod );
	}
	return 0;
}

实现方法3(卢卡斯定理)

卢卡斯定理：Cab≡Ca mod pb mod pCa/pb/p(mod p)

//求组合数三(卢卡斯定理)
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

int p;

int qmi(int a, int b) {
	int res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1)res = (ll)res * a % p;
		a = (ll)a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int c(ll a, ll b) {
	int res = 1;
	for (int i = 1, j = a; i <= b; i++, j--) {
		res = (ll)res * j % p;
		res = (ll)res * qmi(i, p - 2) % p;
	}
	return res;
}

int Lucas(ll a, ll b) {
	if (a < p && b < p)return c(a, b);
	return (ll)c(a % p, b % p) * Lucas(a / p, b / p) % p;
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while (n--) {
		ll a, b;
		cin >> a >> b >> p;
		cout << Lucas(a, b) << endl;
	}

	return 0;
}

4.分解质因数法

当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：

1.筛法求出范围内的所有质数

2.通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + …

3.用高精度乘法将所有质因子相乘

//求组合数四(分解质因数)
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 5010;

int prime[N], cnt;
int sum[N];
bool st[N];

void get_prime(int n) {
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!st[i])prime[cnt++] = i;
		for (int j = 0; prime[j] <= n / i; j++) {
			st[prime[j] * i] = true;
			if (i % prime[j] == 0)break;
		}
	}
}

int get(int n, int p) {
	int res = 0;
	while (n) {
		res += n / p;
		n /= p;
	}
	return res;
}

vector<int> mul(vector<int> a, int b) {

}

int main() {
	int a, b;
	cin >> a>> b;

	get_prime(a);
	for (int i = 0; i < cnt; i++) {
		int p = prime[i];
		sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
	}

	vector<int>res;
	res.push_back(1);
	for (int i = 0; i < cnt; i++) {

	}
}