【具体数学 Concrete Mathematics】2.1.3 和式的处理

对应《具体数学：计算机科学基础（第 2 版）》第 2 章 §2.3，书内第 25—28 页。本文沿用专栏三级编号，以下求和均为有限求和。

化简和式常常不靠找到一条现成公式，而是把它改写成已经认识的形式。本节先整理合法的变换，再用“扰动”求出几何和与带权几何和。

1. 三类基本变换

设 $K$ 是有限指标集合，$c$ 与求和指标无关，则

$$\sum _{k\in K}c{a}_k=c\sum _{k\in K}{a}_k,$$

$$\sum _{k\in K}(a_k+b_k)=\sum _{k\in K}{a}_k+\sum _{k\in K}{b}_k.$$

第三类变换是重新编号。如果 $p:J\to K$ 是一一对应，那么

$$\sum _{k\in K}{a}_k=\sum _{j\in J}{a}_{p(j)}.$$

它的本质是同一批项换一个枚举顺序。这里要求既不遗漏也不重复。

例如，把 $1,2,\dots ,n$ 反向编号为 $n,n-1,\dots ,1$，可以写

$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{j=1}^n{a}_{n+1-j}.$$

但把 $k$ 直接换成 $2j$，只会枚举偶数下标；除非原指标集合本来就只含这些偶数，否则不能视为等价变换。

2. 反向编号为什么能求等差和？

令

$$S=\sum _{k=0}^n(a+dk).$$

反向编号后

$$S=\sum _{k=0}^n(a+d(n-k)).$$

两个式子逐项相加，含 $k$ 的部分消失：

$$2S=\sum _{k=0}^n(2a+dn)=(n+1)(2a+dn).$$

于是

$$\boxed{S=(n+1)\left(a+\frac{dn}{2}\right).}$$

这是“项数乘首尾平均值”。这里是从 $0$ 到 $n$，所以项数是 $n+1$。这个常见结论背后，正是换序、合并和提常数三步。

3. 拆范围时，交集会被算两遍

对有限集合 $A,B$，有

$$\sum _{k\in A}{a}_k+\sum _{k\in B}{a}_k=\sum _{k\in A\cup B}{a}_k+\sum _{k\in A\cap B}{a}_k.$$

因此当 $0\le m\le n$ 时，

$$\sum _{k=0}^m{a}_k+\sum _{k=m}^n{a}_k=\sum _{k=0}^n{a}_k+a_m.$$

两段都包含 $m$，这一项就重复了。若要恰好拼接，应把第二段改成从 $m+1$ 开始。

把首项或末项拆出来，也是合法的范围拆分：

$$\sum _{k=0}^{n+1}{a}_k=S_n+a_{n+1}=a_0+\sum _{k=0}^n{a}_{k+1},$$

其中 $S_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k$。这就是接下来扰动法的起点。

4. 扰动法：同一个新和式，用两种方式写

设

$$G_n(x)=\sum _{k=0}^n{x}^k.$$

把 $G_{n+1}(x)$ 的末项拆掉，得到 $G_n(x)+x^{n+1}$；把首项拆掉并平移指标，得到 $1+x{G}_n(x)$。所以

$$G_n(x)+x^{n+1}=1+x{G}_n(x).$$

当 $x\ne 1$ 时，解出

$$\boxed{G_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.}$$

当 $x=1$ 时，不能用分母为零的式子，但原和式毫无问题：它就是 $n+1$。

注意这里讨论有限和。即使 $x=3$ 或 $x=-2$，公式仍然成立；只有以后把上限送到无穷时，才需要额外讨论收敛条件。

5. 带上权重 $k$，还能扰动吗？

现在考虑

$$S_n(x)=\sum _{k=0}^{n}k{x}^k.$$

同样把 $S_{n+1}$ 写成两种形式：

$$\begin{array}{rl}{S}_n(x)+(n+1)x^{n+1}& =\sum _{k=0}^n(k+1)x^{k+1}\\ & =x{S}_n(x)+x{G}_n(x).\end{array}$$

因此

$$(1-x)S_n(x)=x{G}_n(x)-(n+1)x^{n+1}.$$

代入几何和并整理，得到

$$\boxed{S_n(x)=\frac{x-(n+1)x^{n+1}+n{x}^{n+2}}{(1-x{)}^2},x\ne 1.}$$

当 $x=1$ 时，应回到原式，得到 $n(n+1)/2$。

例如 $n=4,x=3$：

$$3+2\cdot 9+3\cdot 27+4\cdot 81=426.$$

公式右边同样为

$$\frac{3-5\cdot 3^5+4\cdot 3^6}{4}=426.$$

这个推导的关键不是展开了多少项，而是平移后出现的 $(k+1)x^{k+1}$ 可以拆成“原和式”与“已知几何和”。

6. 另一条路线：对有限多项式求导

由于 $G_n(x)$ 是有限多项式，可以逐项求导：

$$x{G}_n^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{n}k{x}^k=S_n(x).$$

这也能得到同一个公式。有限和的逐项求导没有级数收敛问题；若把和式换成无限级数，则不能不加条件地照搬这一步。

两种方法各有用途：扰动法只使用和式变换；求导法适合通项中带有 $k$、$k(k-1)$ 等权重，而且参数以幂的形式出现的情形。

7. 精确验证与自测

from fractions import Fraction

def weighted_geometric(n, x):
    if x == 1:
        return Fraction(n * (n + 1), 2)
    return (x - (n + 1) * x ** (n + 1)
            + n * x ** (n + 2)) / (1 - x) ** 2

for n in range(26):
    for x in map(Fraction, [-2, -1, 0, 1, 2, 3]):
        direct = sum((k * x ** k for k in range(n + 1)), Fraction(0))
        assert direct == weighted_geometric(n, x)
    x = Fraction(1, 3)
    assert sum(k * x ** k for k in range(n + 1)) == weighted_geometric(n, x)

print(weighted_geometric(4, Fraction(3)))  # 426

换元后只改通项、不改范围，可能错在哪里？ 首尾项会发生变化，甚至项数也不同。

为什么不能直接把 $x=1$ 代入分式？ 推导过程中除以了 $1-x$，这个操作排除了 $x=1$；原和式仍有定义。

扰动后未知和式完全抵消，说明一定算错了吗？ 不一定，可能只是这个扰动没有提供新信息。下一小节之后的一般方法会讨论如何改选辅助和式。

---

参考：Ronald L. Graham、Donald E. Knuth、Oren Patashnik 著，张明尧、张凡译，《具体数学：计算机科学基础（第 2 版）》，人民邮电出版社，§2.3。本文按本节主题重新组织解释与推导，并补充程序核验；不是原文摘录。

专栏目录