线性规划与单纯形法-优快云博客

参考：https://wenku.baidu.com/view/d6c2ec8502d276a200292ef0.html

一、引入

对于最大值问题：
在这里插入图片描述

矩阵形式为：
在这里插入图片描述

对于m个约束条件、n个决策变量，选取m个初始基变量 $x_{i}$ ，得到初始基可行解 $0,...,0,b1,b2,...,bm)^T$ ，以及初始单纯形表。对所得的初始单纯形表，计算 $σj{\sigma}_j$ ，其中 $σj=cj−zj\sigma _j = c_j - z_j$ ，寻找最大的整数 $σj\sigma _j$ ，将该列所对应的变量 $x_j$ 入基，该列最大的数所对应的行 $x_{i}$ 出基。

二、示例

本文以如下公式为例：
在这里插入图片描述

故初始基变量： $x_4, x_5, x_6)^T$ ，因为在约束条件所对应的系数矩阵中， $x_4, x_5, x_6$ 对应的系数向量线性无关。

故初始基可行解为： $(0, 0, 0, 10, 8, 4)$

初始单纯性表：

替换基变量步骤：

1、找出最大的正数检验数 $σj\sigma _j$ ，即第2列数字2；

2、找最小正数 $bxj=min{101,42}\frac{b}{x_j} = min\{\frac{10}{1}, \frac{4}{2}\}$ 所在行，即基变量 $x_6$ 出基， $x_2$ 入基，得到新的基变量 $x_4, x_5, x_2)^T$ ，以及新的可行解： $(0, 2, 0, 8, 10, 0)$ ；

3、进行初等行变换，使 $x_2$ 所在的列变换到 $x_6$ 所在的列的形式，得到新的单纯形表：

同理： $x_3$ 进基变量， $x_5$ 出基变量，得到新的单纯性表：

在这里插入图片描述

至此，可以求得最优解： $0, 12, 5, 8, 0, 0)^T$ ，最大值 $z = - 19$ .

三、检验数

如上文，对于线性规划问题，若满足约束条件组成的可行域有界，则目标函数的最优解必定在可行域的顶点上。

当选取了一定的基变量时，如上文的 $x_4, x_5, x_6)^T$ ， $x_1, x_2, x_3$ 为0，则当前的目标函数值： $z_0 = - x_1+2x_2-x_3+0x_4+ 0x_5+0x_6$ 。

若 $x_1, x_2, x_3$ 中的非基变量值 $x_i$ 一旦增加，如上，最开始可行解确定好后，增加 $x_2$ 的值， $x_4, x_5, x_6$ 的值必定可以减少，而 $x_2$ 的系数 $c_2 = 2>0$ ，显然目标函数值z增加了，故目标函数值 $z_0$ 不是最优解。

而对于检验数的确定：

设 $z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n$ ，若 $x_1, x_2, ..., x_m)^T$ 为基变量【对应上例题中的初始基变量 $x_4, x_5, x_6)^T$ 】，则 $x_{m+1}, x_{m+2}, ..., x_n)^T$ 为非基变量【对应上例题中的初始基变量 $x_1, x_2, x_3)^T$ 】。显然，基变量根据约束条件可以使用非基变量表示出来，本文继续以上例题为例：
$x_4 = 10 - (x_1 + x_2 -2x_3) \\ x_5 = 8 -(2x_1 - x_2 + 4x_3) \\ x_6 = 4 - (-x_1 + 2x_2 - 4x_3)$
带入目标函数： $z = - x_1+2x_2-x_3+0 * (10 - (x_1 + x_2 -2x_3))+ 0*(8 -(2x_1 - x_2 + 4x_3)) +0*(4 - (-x_1 + 2x_2 - 4x_3))$

化为一般式：
$(c_{m+1} - (\Sigma _{i=1} ^m ci*c_{i(m+1)})) x_{m+1} + (c_{m+2}-(\Sigma _{i=1} ^m ci*c_{i(m+2)})) x_{m+2} + ... + (c_n-(\Sigma _{i=1} ^m ci*c_{in})) x_n + \Sigma _{i=1} ^m b_i$
从上式可以看出，对任意非基变量，其消除基变量后的系数若为正数，其数值越大，目标函数 $z$ 的取值将越大。以此作为检验数。
对于本文初始目标函数： $c_i = 0. (i=3,4,5)$ ，故初始检验数 $σj=cj\sigma_j = c_j$ 。发现 $x_2$ 的检验数为2，对目标函数的更新变化最大。