本文详细介绍了平衡二叉树的概念、实现原理及代码解析，包括平衡因子、最小不平衡子树的定义与处理方法，以及插入、删除操作的具体实现。通过实际代码演示，深入理解平衡二叉树在保持树平衡方面的应用。
最近在研究数据结构，使用教材是程杰的《大话数据结构》，这本树写的非常好，看到了平衡二叉树，对该章研究了下，敲了下代码，并通过加断点调试，学习了不少，记录下来，供大家参考。
(1)平衡二叉树(AVL树概念)
一种二叉排序树，其中每一个结点的左子树和右子树的高度差的绝对值小于等于1。
平衡因子BF：左子树深度减去右子树深度的值(有正有负)
最小不平衡树：距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，称为最小不平衡子树。
(2)平衡二叉树实现原理
基本思想：当插入一个新的结点，出现不平衡情况时，就对最小不平衡子树进行调整。
调整平衡时主要是两种情况：
（a）最小不平衡子树，根结点平衡因子与左或者右子树根节点平衡因子符号同号，直接进行左旋或者右旋即可。
（b）最小不平衡子树，根结点平衡因子与左或者右子树根节点平衡因子符号异号，先对最小不平衡子树根节点的左右子树根节点进行旋转，使两者平衡因子符号由异号变为同号，然后对最小不平衡子树根节点进行旋转（其实就是进行两次旋转，双旋处理）。
（3）平衡二叉树实现
读代码的一点感悟：
（a）插入结点函数InsertAVL是一个递归插入操作，当新增一个结点成功后，然后退出当前的插入操作，递归回退到上一次插入操作，并对新插入结点的上一次结点的平衡因子值进行修改。
（b）直接阅读代码有些困难，最好就是在编译器中加断点进行调试，这样对于理解插入结点时，如何调整平衡的原理很有用。（我是这样的情况，纸上代码看了很久都没看懂，上机调试了一把，立马恍然大悟）
（c）结点删除时，由插入结点是递归，可以推测出删除时也用递归，可见递归操作很强大啊！二叉排序树删除结点三种情况：(a1)叶子结点（a2）仅有左或者右子树（a3）左右子树都存在。删除结点时，判断树的高度是否变矮。（a1）（a2）情况，树高度变矮了，（a3）情况，找到直接前驱，方法是"先向左，然后向右到尽头"，将直接前驱的值付给根节点，然后在根节点左子树中递归删除直接前驱结点。
二叉链表结点结构体定义：
typedef struct BiTNode //结点结构体
{
int data;
int bf; //结点平衡因子
struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;/*********************************************
**功能：对以p为根的二叉排序树做右旋处理
**p：二叉排序树
*********************************************/
void R_Rotate(BiTree *p)
{
BiTree L;
L = (*p)->lchild; //L指向根节点的左子树
(*p)->lchild = L->rchild; //L的右子树挂在根节点的左子树上
L->rchild = (*p);
(*p) = L; //p指向新的根节点
}/*********************************************
**功能：对以p为根的二叉排序树做左旋处理
**p：二叉排序树
*********************************************/
void L_Rotate(BiTree *p)
{
BiTree R;
R = (*p)->rchild;
(*p)->rchild = R->lchild;
R->lchild = (*p);
(*p) = R;
}#define LH 1 //左高
#define EH 0 //等高
#define RH -1 //右高
/*********************************************
**功能：对指针T所指结点为根的结点进行左平衡旋转处理
**T:二叉排序树
*********************************************/
void LeftBalance(BiTree *T)
{
BiTree L,Lr;
L = (*T)->lchild; //L指向左子树根节点
switch(L->bf)
{
case LH: //新节点插入在左孩子的左子树上，要作单右旋处理
(*T)->bf = L->bf = EH;
R_Rotate(T);
break;
case RH:
Lr = L->rchild;
switch(Lr->bf)
{
case LH:
(*T)->bf = RH;
L->bf = EH;
break;
case EH:
(*T)->bf=L->bf=EH;
break;
case RH:
(*T)->bf = EH;
L->bf = LH;
break;
}
Lr->bf = EH;
L_Rotate(&(*T)->lchild); //对T的左子树做左旋处理
R_Rotate(T); //对T做右旋处理
}
}/*********************************************
**功能：对指针T所指结点为根的结点进行右平衡旋转处理
**T:二叉排序树
*********************************************/
void RightBalance(BiTree *T)
{
BiTree R,Rl;
R = (*T)->rchild;
switch(R->bf)
{
case RH: //此时，根节点和右子树结点平衡因子相同，直接对根节点左旋
(*T)->bf = R->bf = EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH:
Rl = R->lchild; //指向右子树的根节点的左子树,异号，需要进行双旋处理
switch(Rl->bf)
{
case RH:
(*T)->bf = LH;
R->bf = EH;
break;
case EH:
(*T)->bf = R->bf=EH;
break;
case LH:(*T)->bf = EH;
R->bf = RH;
break;
}
Rl->bf = EH;
R_Rotate(&(*T)->rchild); //对T的右子树根节点做右旋操作
L_Rotate(T); //对根节点T做左旋操作
}
}/*********************************************
**功能：平衡二叉树中插入一个结点e，若e不存在，插入并返回true，否则返回false
**T:平衡二叉树
**e:带插入结点
**taller：树是否增高
*********************************************/
int InsertAVL(BiTree *T,int e,int *taller)
{
if(!*T)
{
*T =(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
(*T)->data = e;
(*T)->lchild = NULL;
(*T)->rchild = NULL;
(*T)->bf = EH;
*taller = 1; //表示树长高了
}
else
{
if (e == (*T)->data) //该节点已经存在 不用插入了
{
*taller = 0;
return 0;
}
if (e < (*T)->data)
{
if (!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) //左子树中继续搜索 但是没有插入
{
return 0;
}
if (*taller) //插入新的结点 并且树长高了
{
switch((*T)->bf)
{
case LH: //原来左子树比右子树高，做左平衡处理
LeftBalance(T);
*taller = 0;
break;
case EH: //原来左、右子树等高，现在左子树增高使树增高
(*T)->bf = LH;
*taller = 1;
break;
case RH: //原来右子树较高，现在左右子树一样高
(*T)->bf = EH;
*taller = 0;
break;
}
}
}
else //右子树中进行搜索
{
if (!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) //右子树中未插入
{
return 0;
}
if (*taller)
{
switch((*T)->bf) //检查T的平衡度
{
case LH:
(*T)->bf = EH;
*taller = 0;
break;
case EH:
(*T)->bf = RH;
*taller = 1;
break;
case RH: //本来右子树比左子树高，还在右子树插入结点，需要做右平衡处理
RightBalance(T);
*taller = 0;
break;
}
}
}
}
return 1;
}/*********************************************
**功能：递归打印二叉树,中序遍历
**T:二叉排序树
*********************************************/
void PrintBTree(BiTree T)
{
if (!T) //递归出口
return;
PrintBTree(T->lchild);
printf("%d\t",T->data);
PrintBTree(T->rchild);
}
删除结点函数：
/*********************************************
**功能：平衡二叉树中进行删除,又该节点，删除并返回true，若没有该节点，返回false
**T:平衡二叉树
**e:删除的结点键值
**shorter:树的高度是否降低
*********************************************/
int DeleteAVL(BiTree *T,int e,int* shorter)
{
//提示：插入结点使用的递归插入，可以联想到删除也是用的递归删除
if (!*T) //不存在该节点
{
return 0;
}
else if ((*T)->data == e) //找到该节点
{
BiTree q;
if (!(*T)->lchild) //如果左子树为空，只需要重接右子树
{
q = (*T);
(*T) = (q->rchild);
free(q);
*shorter = 1;
}
else if (!(*T)->rchild) //右子树为空，只需要重接左子树
{
q = (*T);
(*T) = q->lchild;
free(q);
*shorter = 1;
}
else //左右子树都不为空
{
q = (*T)->lchild; //先向左，然后向右到尽头
while(q->rchild)
{
q = q->rchild;
}
(*T)->data = q->data;
DeleteAVL(&(*T)->lchild,q->data,shorter); //左子树中递归删除前驱结点
}
}
else if (e < (*T)->data) //左子树中递归查找
{
if (!DeleteAVL(&(*T)->lchild,e,shorter)) //没找到
{
return 0;
}
if (*shorter) //删除结点，而且高度降低
{
switch((*T)->bf)
{
case LH:
(*T)->bf = EH;
*shorter = 1;
break;
case EH:
(*T)->bf = RH;
*shorter = 0;
break;
case RH: //右边本来就高 左边删除后，需要进行右平衡处理
RightBalance(T);
if ((*T)->rchild->bf == EH) //画图看一下，很easy
{
*shorter = 0;
}
else
{
*shorter = 1;
}
break;
}
}
}
else //右子树中递归查找
{
if (!DeleteAVL(&(*T)->rchild,e,shorter)) //没找到
{
return 0;
}
if (*shorter) //删除结点，而且高度降低
{
switch((*T)->bf)
{
case LH:
LeftBalance(T);
if((*T)->lchild->bf == EH) //画图，不多说
{
*shorter = 0;
}
else
{
*shorter = 1;
}
break;
case EH:
(*T)->bf = LH;
*shorter = 0;
break;
case RH:
(*T)->bf = EH;
*shorter = 1;
break;
}
}
}
return 0;
}测试代码主函数：
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int a[] = {3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};
BiTree T = NULL;
int taller;
for (int i=0;i<10;++i)
{
InsertAVL(&T,a[i],&taller);
}
PrintBTree(T);
int shorter;
DeleteAVL(&T,10,&shorter);
PrintBTree(T);
printf("\n");
return 0;打印结果：
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