二分匹配的匈牙利算法 51NOD2006（文末）

最新推荐文章于 2020-01-13 16:11:52 发布

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本文介绍了二分图的概念及其最大匹配问题，并通过匈牙利算法详细解析了如何求解二分图的最大匹配问题。包括算法的基本轮廓、详细步骤及示例代码。

参考及图片来源：https://comzyh.com/blog/archives/148/

二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和 V ，使得每一条边都分别连接U 、 V 中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。

（即如果题目中的元素能够被分成两组不同的点集，就是可以用二分图表示的，每个组内的点互不相连，边只在两个点集间产生）

如下图：

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。下图是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。上图是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

求二分图最大匹配可以用最大流(Maximal Flow) （更复杂）或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)

下面介绍匈牙利算法：

http://www.nocow.cn/index.php/Translate:USACO/stall4

以此题为例:

算法最基本轮廓：

置边集M为空（初始化，谁和谁都没连着）
选择一个新的原点寻找增广路
重复(2)操作直到找不出增广路径为止（2，3步骤构成一个循环）

模拟步骤如上图所示(过于详细，大牛请无视)：

初始化（清空）
从A所连接的点中找到一个未在本次循环中搜索过的点2，并将2标记为搜索过，因为2没有被连接过，匹配A2
结束上次，开始新的循环，将所有点标记为未搜索过
搜索B，找到一个未在本次循环中搜索过的点2，标记为搜索过
发现2被匹配过，从2的父亲A寻找增广路，递归搜索A{从A所连接的点中找到一个未在本次循环中搜索过的点5（1已经标记为绿色），将5标记为搜索过，因为5没有被匹配过，匹配A5}找到增广路（此处为增广路的关键）
结束上次，开始新的循环，将所有点标记为未搜索过
搜索C，找到一个未在本次循环中搜索过的点1，并将1标记为搜索过,发现1未被匹配过，匹配C1
结束上次，开始新的循环，将所有点标记为未搜索过
搜索D，找到一个未在本次循环中搜索过的点1，并将1标记为搜索过，发现1被匹配过，递归搜索1的源C寻找增广路
{搜索C，找到一个未在本次循环中搜索过的点5，标记为搜索过，发现5被匹配，进一步返现没有其他可连接点，返回找不到增广路}返回第9步
搜索D，找到一个未在本次循环中搜索过的点2，发现2被匹配，递归搜索2的源B寻找增广路
{搜索B，找到一个未在本次循环中搜索过的点3，并将3标记为搜索过，发现3未被匹配，匹配B3返回找到}既然B另寻新欢，匹配D2
结束上次，开始新的循环，将所有点标记为未搜索过，递归搜索D寻找增广路
搜索E，找到一个未在本次循环中搜索过的点2，并将2标记为搜索过，发现2被匹配过，递归搜索2的源D寻找增广路
{搜索D，发现1，5均被匹配过，返回找不到增广路}
E无其他可连接节点，放弃E，E后无后续节点，已经遍历A-E，结束算法

例题： 51NOD 2006 （看了code就明白）

https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#problemId=2006&noticeId=293729

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int AX = 200;
int g[AX][AX];
int linker[AX];
bool used[AX];
int m,n;

bool dfs( int u ){
	int v;
	for( v = m+1 ; v <= n ;v ++ ){                   
		if( g[u][v] && !used[v] ){                  //如果u 和 v 能够相连 并且 点未被访问
			used[v] = true;				//标记点
			if( linker[v] == -1 || dfs(linker[v]) ){  //如果点没有连接边 或者 已连接 但回溯 到其相连的点发现那个点仍能链接别的点，就将这个点的边变换
				linker[v] = u;   //链接新边
				return true;       //返回真，匹配成功
			}
		}
	}
	return false;         
}

int xyl(){
	int res = 0;
	int u;
	memset(linker,-1,sizeof(linker));      //首先各边初始化为未连接
	for( u = 1 ; u <= m ; u++ ){ 
		memset(used,0,sizeof(used));   //每次都将点设置为为访问过
		if( dfs(u) ) res++;            //用DFS查找匹配
	}
	return res;
}

int main(){
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cin>>m>>n;
	int x,y;
	while( cin>>x>>y && x != -1 && y != -1 ){
		g[x][y] = 1;                   //加入题目给出的边
	}
	int ans = xyl();                   //调用匈牙利算法
	if( ans == 0  ) printf("No Solution!\n");
	else cout<<ans<<endl;
	return 0;
}