CTL公式AF、AG与LTL公式F、G等价么…

时序逻辑在模型检测中被用以描述系统属性，计算树逻辑（Computation Tree Logic,简称CTL）和线性时序逻辑(Linear-time Temporal,简称LTL)。CTL和LTL的详细介绍，我在这里就不多说了。有个有趣的问题，就是CTL和LTL是否等价，乍一眼看上去似乎LTL里的 F和 G分别与CTL里的 AF和 AG语义相同。到底是不是相同的呢？我来给大家介绍一个经典的例子。
如下图所示，在图中有一个系统 M，它满足这样的状态转换： M从初始状态出发，可以一直循环在初始状态，也可以通过到达中间状态，从而到达最终状态，并且在最终状态循环。其中初始状态，中间状态以及最终状态分别满足公式 p，公式非 p以及公式 p。显然这是满足LTL公式 AFp。

试想一下，若LTL公式 FGp与CTL公式 AFAGp等价，则系统 M满足LTL公式 AFp必满足CTL公式 AFAGp。为了能更好地判断系统 M是否满足CTL公式 AFAGp，我们对系统 M作等价变换成 M'，如下图所示：
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我们发现， M’并不满足CTL公式 AFAGp，因为只要从最左边的一列满足 p的状态出发，总会可能出现到达下一个状态不满足 p，使得 AGp不能被满足。于是乎，CTL公式 AFAGp与LTL公式 FGp不等价。“LTL里的 F和 G分别与CTL里的 AF和 AG语义相同”这个说法是错误的。
这时你也许要问， M'不满足CTL公式 AFAGp，却满足CTL公式 AFEGp，这是否代表CTL公式 AFEGp与LTL公式 FGp是等价的呢？那么，我们就用同样的方法来证明看看。
我们再重新构造一个系统 M，如下图所示。与上一个例子不同，系统 M从初始状态出发，可以在初始状态循环，也可以到达中间状态。当系统到达中间状态后，亦可在此循环，也可以到达最终状态，并在最终状态循环。


显然系统 M不满足LTL公式 FGp，因为若系统一直停留在中间状态，则不满足 p。那么该系统是不是也不满足于CTL公式 AFEGp呢？同样，我们也将 M等价转换成 M'，如下图所示。

在 M'中我们可以看到，无论系统处于什么状态，将来总存在一条路径使得所有的状态都满足 p，于是系统满足CTL公式 AFEGp。综上，我们得出CTL公式 AFEGp与LTL公式 FGp并不等价。
事实上，LTL和CTL的关系如下图所示，CTL和LTL其中任一方都不能表达另一方，它们之间既有相同的表述部分，也存在着差异。到底谁的表达能力更强，尚无定论。