奇妙的安全旅行之RSA算法

hi，大家好，我是开发者FTD。今天我们开始介绍非对称加密算法。非对称加密算法区别于对称加密算法的主要特点是，非对称加密算法有两个密钥：公钥 (public key) 和私钥 (private key)。公钥和私钥是一对密钥，如果用公钥对数据加密，那么只能用对应的私钥解密；相同的，如果用私钥对数据加密，只能用对应的公钥进行解密。因为加密和解密用的是不同的密钥，所以将这种加密算法称为非对称加密。

非对称加密算法的安全性好，由于有两个密钥，所以它不需要交换比较重要的私钥，只需要交换对外公开的公钥即可，它消除了用户最终交换密钥的需要。不过非对称加密算法的加解密速度要远远慢于对称加密，在某些极端情况下，甚至能比对称加密慢上1000倍。

RSA 算法简介

RSA 算法是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。RSA 算法既能用于加密，也能用于做数字签名。

RSA 算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。

算法原理：

RSA 是目前最有影响力的公钥加密算法，该算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥，即公钥，而两个大素数组合成私钥。公钥是可发布的供任何人使用，私钥则为自己所有，供解密之用。

RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：

公钥 KU	n：两素数 p 和 q 的乘积（p 和 q 必须保密） e：与（p - 1）（q - 1）互质
私钥 KR	d：e^-1 （mod(p-1)(q-1)） n： p 和 q 的乘积
加密	C ≡ m^e mod n
解密	m ≡ c^d mod n

大家看了这些公式估计有些懵，没关系，我们一个一个解释一下。首先我们先复习一下数学中的一些基础概念：

什么是“素数”？

素数也称为“质数”，是指除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积的数字。

例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。又例如，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。

什么是“互质数”（或“互素数”）？

小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。” 这里所说的“两个数”是指自然数。

判别方法主要有以下几种（不限于此）：

• 两个质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
• 一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
• 1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
• 相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
• 相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
• 大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
• 小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。
• 两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。等等。

什么是模指数运算？

我们先说下指数运算，指数是位于一个未知数的右上方，表示这个未知数相乘几次，例如：2 ^ 4 = 16；

模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模做模运算，即m mod n。让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。例如，10 mod 3 = 1；26 mod 6 = 2；28 mod 2 = 0 等。

而模指数运算就是先做指数运算，取其结果后再做模运算。如
$$5^{3}mod7=125mod7=6$$
好，下面我们开始正式介绍RSA加密算法。

RSA 算法描述：

1. 选择一对不同的、足够大的素数p，q。

2. 计算 n = pq。

3. 计算 f(n) = (p-1)(q-1) ，同时对p, q严加保密，不能让其他任何人知道。

4. 找一个与 f(n) 互质的数 e，且 1<e<f(n) 。

5. 计算 d，使得 de ≡ 1 mod f(n)。这个公式也可以表达为d ≡ e^-1 mod f(n)

   这里要解释一下，≡ 是数论中表示同余的符号。公式中，≡ 符号的左边必须和符号右边同余，也就是两边模运算结果相同。显而易见，不管f(n)取什么值，符号右边1 mod f(n)的结果都等于1；符号的左边d与e的乘积做模运算后的结果也必须等于1。这就需要计算出d的值，让这个同余等式能够成立。

6. 公钥 KU=(e,n)，私钥 KR=(d,n)。

7. 加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。设密文为C，则加密过程为：

$$C\equiv M^{e}modn$$

​ 解密过程为：
$$M\equiv$$