HDU5047 - Sawtooth[找规律]

最新推荐文章于 2018-03-19 23:55:27 发布

FlushHip

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本文探讨了一种通过放置特定形状（M型锯齿）来将无限矩形区域划分成尽可能多个子区域的方法。通过分析锯齿与先前放置的锯齿之间的交点规律，推导出一种数学公式来计算最多可划分的区域数量。该解决方案适用于大规模问题，例如当锯齿的数量达到10^12时。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem ： Sawtooth
Description :

一个无限大的矩形区域，现在 $N$ 个“M”型的折线，可以看下题中的图，两边两条线是平行的(其实不平行也是没关系的，答案都是一样)，问最多能把这个矩形分成多少个区域。

Solution：

就是找规律，首先，我们会想到另一种最简单的情况，就是 $N$ 条直线能把这个区域分成多少个区域，我们会看这条线与前面 $N-1$ 条线有多少个交点；那么这个题我们也是一样的，把当前这个“M”拆成4条射线，然后每条射线来与前面的 $4(N-1)$ 条射线求交点，这里要贪心最大化，就是说，每条射线在题目要求的范围内要穿过所有射线并出头一点，这样可以发现，前3条射线中每条射线使得区域数在前 $4(N-1)$ 条射线所形成的最大区域数上增加 $4 (N - 1)$ 个，而最后一条射线会比之前的每一条射线多出1个区域也就是 $4(N-1) +1$ ，这是因为最后一条射线会比之前3条射线多交一条射线.

$a n s n = a n s n - 1 + 4 * 4 (n - 1) + 1 = a n s n - 1 + 16 n - 15 = a n s n - 2 + 16 (n + n - 1) - 15 * 2 ⋮ = a n s 1 + 16 (2 + 3 + \dots + n) - 15 (n - 1) = 2 + (8 n + 1) (n - 1)$ $\begin{split} ans_n&=ans_{n-1}+4*4(n-1)+1\\ &=ans_{n-1}+16n-15\\ &=ans_{n-2}+16(n+n-1)-15*2\\ &\vdots \\ &=ans_1+16(2+3+\cdots+n)-15(n-1)\\ &=2+(8n+1)(n-1) \end{split}$

这里 $n$ 可达 $10^{12}$ ，所以还需要用大整数搞一下.

Code ：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

typedef long long LL;

#define MAX_LINE 64

int toString(LL n, int a[])
{
    int top = 0;
    for (; n ; n /= 10)
        a[top++] = n % 10;
    if (!top)
        a[top++] = 0;
    return top;
}

// ans = (8 * n + 1) * (n - 1) + 2

int main()
{
    int T, K = 1;
    for (scanf("%d", &T); T-- ; K++) {
        LL n;
        scanf("%I64d", &n);
        LL tmp1 = 8LL * n + 1, tmp2 = n - 1;

        int digit1[MAX_LINE], digit2[MAX_LINE];
        int len1 = 0, len2 = 0;

        memset(digit1, 0, sizeof(digit1));
        memset(digit2, 0, sizeof(digit2));
        len1 = toString(tmp1, digit1);
        len2 = toString(tmp2, digit2);

        int ans[MAX_LINE];
        memset(ans, 0, sizeof(ans));

        for (int i = 0; i < len1; i++)
            for (int j = 0; j < len2; j++)
                ans[i + j] += digit1[i] * digit2[j];
        ans[0] += 2;

        int up = 0;
        for (int i = 0; i < len1 + len2 + 2; i++) {
            int tmp = up + ans[i];
            ans[i] = tmp % 10;
            up = tmp / 10;
        }

        int top = MAX_LINE;
        for (; top > 0 && ans[top - 1] == 0; top--);

        printf("Case #%d: ", K);
        for (int i = top - 1; i >=0 ; i--)
            printf("%d", ans[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}