用递归的方法求解3

本文介绍了一个简单的C++程序,该程序使用递归方法来计算斐波那契数列中的任意一项。通过定义一个名为fib的函数,程序能够计算并输出指定位置的斐波那契数值。
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//  main.cpp
//  activity
//
//  Created by 徐伟 on 6/13/16.
//  Copyright © 2016 fizz. All rights reserved.
//

//递归法
#include <iostream>
using namespace std;
int fib(int n);
int main()
{
    cout<<fib(20)<<endl;
    return 0;
}
//返回Fibnacci序列中的第n个数
int fib(int n)
{
    if(n==1)
        return 0;
    else if(n==2)
        return 1;
    else
        return(fib(n-1)+fib(n-2));
}

0/1背包问题是一个经典的组合优化问题,递归方法是解决该问题的一种常用手段。在解决0/1背包问题时,递归方法是经典方法之一,能够给出最优解[^2]。 递归求解0/1背包问题不像数学公式中的递归那么简单。一方面,此问题的分支较多,需要判断背包的容量是大于、小于还是等于当前物品的重量;另一方面,普通的递归只对一个对象的规模变小,而此问题要对两个对象的规模都变小[^1]。 使用蛮力法解决0/1背包问题可通过递归方式实现,其递归过程可看成是对一棵树的深度优先遍历,也就是将所有物品装入背包的可能全部列举出来,穷举这些物品的所有子集,找出能够装到背包中的所有子集,并在这些子集中找出价值最大的子集[^3]。 从自顶向下的角度来看,用$F(n,C)$表示将前$n$个物品放进容量为$C$的背包里得到的最大价值。进行到最后一步(即求解将$n$个物品放到背包里获得的最大价值)时,有两种选择: - 不放第$n$个物品,此时总价值为$F(n - 1,C)$。 - 放置第$n$个物品,前提是背包容量$C$大于等于第$n$个物品的重量$w_n$,此时总价值为$v_n+F(n - 1,C - w_n)$,其中$v_n$是第$n$个物品的价值。 最终的最大价值是这两种选择中的最大值,即$F(n,C)=\max\{F(n - 1,C),v_n+F(n - 1,C - w_n)\}$(当$C\geq w_n$时);当$C < w_n$时,只能选择不放第$n$个物品,即$F(n,C)=F(n - 1,C)$ [^4]。 以下是使用Python实现的递归代码示例: ```python def knapsack_recursive(weights, values, capacity, n): # 基本情况:如果没有物品或背包容量为0,价值为0 if n == 0 or capacity == 0: return 0 # 如果第n个物品的重量大于背包容量,不能放入 if weights[n - 1] > capacity: return knapsack_recursive(weights, values, capacity, n - 1) else: # 选择放入或不放入第n个物品,取最大值 return max(values[n - 1] + knapsack_recursive(weights, values, capacity - weights[n - 1], n - 1), knapsack_recursive(weights, values, capacity, n - 1)) # 示例使用 weights = [2, 3, 4, 5] values = [3, 4, 5, 6] capacity = 8 n = len(weights) result = knapsack_recursive(weights, values, capacity, n) print("最大价值:", result) ```
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