Frequency Filters-2

matlab的fft2函数可以实现求解图像的DFT，比如下面的这张图片，

通过matlab可以获得它的DFT图像（frequency spectrum）

img = rgb2gray(im);
>> ft = fft2(img);
>> imshow(log(abs(ft)),[]);

按照前面章节的说明，当前显示的结果同时覆盖了四个循环区域，使用fftshift函数进行调整，得到如下图示，

>> fts = fftshift(ft);
>> imshow(log(abs(fts)),[]);

图示中，中间高亮部分是低频部分，由中间向四周频率越来越高，低频对应的是图像中梯度平缓的地方，而高频对应的是图像中梯度较大的地方，如边缘等。我们发现，在DFT结果中，存在明显的“十字”形状，这主要是由于DFT的周期性导致图像拼接处存在强烈的色差形成较大梯度区域，从下图的红色框区域内可明显看出。

再看下面这个图像，左侧为原图像，中间为shift之后的图像（不存在明显的过渡边缘），右侧为对应的DFT图像，相比于前面的图像来说，则不存在这种边缘现象。

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我们先来介绍下频率域滤波的基本步骤：

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接下来，将介绍几种低通滤波和高通滤波应用，低通滤波可以保留图像的低频信息而丢弃部分高频信息，由于高频信息对应于图像中梯度变化较大的区域，如边缘等，所以低通滤波的效果实际上是等同于图像平滑效果；同样的，可以推测高通滤波则等同于图像的边缘提取。

低通滤波
三种常见的低通滤波：理想低通滤波（ILPF）、Butterworth低通滤波(BLPF)以及高斯低通滤波(GLPF)。

1.理想低通滤波：理想低通滤波的原理很简单，它只是简单地截断频谱上半径区域$D_0$外所有的频率信息，而完全保留$D_0$内的低频信息。滤波函数定义为，

H(u,v)={ 10D(u,v)≤D0D(u,v)>D0