【唯一分解定理】LightOJ - 1236 Pairs Forming LCM-优快云博客

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本文探讨了利用唯一分解定理解决求特定条件下两数最小公倍数等于给定数的方案数问题。通过分解质因数并计算组合数，提供了一种高效求解策略。

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【唯一分解定理】LightOJ - 1236 Pairs Forming LCM

题意：
求1=<i<=n,1<=j<=n,lcm(i,j)=n的方案数。

思路：
n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *…*pn ^ en

for i in range(1,n): ei 从0取到ei的所有组合
必能包含所有n的因子。
现在取n的两个因子a,b
a=p1 ^ a1 * p2 ^ a2 *…*pn ^ an
b=p1 ^ b1 * p2 ^ b2 *…*pn ^ bn
gcd(a,b)=p1 ^ min(a1,b1) * p2 ^ min(a2,b2) *…*pn ^ min(an,bn)
lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *…*pn ^ max(an,bn)
先对n素因子分解，n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *…*pk ^ ek，
lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *…*pk ^ max(ak,bk)
所以，当 $l c m (a, b) = = n 时， m a x (a 1, b 1) = = e 1, m a x (a 2, b 2) = = e 2, \dots m a x (a k, b k) = = e k 当 a i = = e i 时， b i 可取 [0, e i] 中的所有数有 e i + 1 种情况， b i = = e i 时同理。那么就有 2 (e i + 1) 种取法, 但是当 a i = b i = e i 时有重复，所以取法数为 2 (e i + 1) - 1 = 2 e i + 1 。除了 (n, n) 所有的情况都出现了两次那么满足 a < = b 的有 (2 e i + 1)) / 2 + 1 个$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e7+5;
const int NN=1e6;
unsigned int prime[NN],cnt;           //prime[N]会MLE
bool vis[N];

void is_prime()
{
    cnt=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<N;j+=i)
            {
                vis[j]=1;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    is_prime();
    int t;
    cin>>t;
    for(int kase=1;kase<=t;kase++)
    {
        LL n;
        cin>>n;
        int ans=1;
        for(int i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
        {
            if(n%prime[i]==0)
            {
                int e=0;
                while(n%prime[i]==0)
                {
                    n/=prime[i];
                    e++;
                }
                ans*=(2*e+1);
            }
        }
        if(n>1)
            ans*=(2*1+1);
        printf("Case %d: %d\n",kase,(ans+1)/2);
    }
}