二分_算法

二分算法

概念

二分算法（Binary Search），也被称为折半查找，是一种高效的搜索算法，用于在已排序的数据集中查找特定元素。它的工作原理是将数据集分成两半，然后在其中一半中继续查找，以确定目标元素是否存在。

算法流程详述

二分条件

在一个有序的序列中；一个待查找的值x；

过程

取序列的两端，为l，r；

（l，r代表的可能是数组下标或者实在的数值，此处以数组下标为例，数组为a[]）一般是闭区间。

取(l+r)/2为mid，a[mid]与x比较。进而更改l，r的值。

接着再求新的mid，以此类推，周而复始。

最终，l或r就为所求值x，或最接近x的值。

细节剖析

a[mid]与x的比较。

主要就两种情况，大于等于（小于），小于等于（大于）；

（>=）这个求，不小于x的最小位置。与（<)是等价的，因为模板中的那个else。

（<=)，求不大于x的最大的那个位置，与（>）等价。

模板

最小位置

int l = 0, r = n - 1; while (l < r) { int mid = l + r >> 1; if (a[mid] < x) l = mid + 1; else r = mid; }

过程描述

设置l，r端点。

取中间值mid，如果（<），说明mid在x的左边，因为没有（=），且是闭区间（闭区间，代表端点是可以取的）l=mid+1；

如果是else，说明在x右边，且mid可能就是为x，就不能像l那样+1，所以r=mid；

当在不断折半后，遇到只有两个值的时候，即l+1=r时。（这里，我们假设前提是，这个序列里存在x，那么此时，l，r里，一定有x）。分三种情况，

1. l=x，r！=x，则x<r；

那么折半后，mid=l，满足else情况，那，r=mid=l；，之后循环停止。

2. l！=x，r=x,l<x；

那么折半后，mid=l，满足if情况，那，l=mid+1=r；，之后循环停止。

3. l=x，r=x,l=r=x；

那么折半后，mid=l，满足else情况，那，r=mid=l；，之后循环停止。

三者都能得到，正确的结果，没什么问题。

但在求最大位置的时候，就会出现问题。

这里，循环停止条件是l==r，所以l，r都是一样。

那么为什么这么肯定，l就是x得最小位置呢？

注意到，l每次变动的条件是（<），说明每次，l的左边的元素都不会比l所在的元素大。所以，l才是最小位置。

过程描述

我们先按照最小位置的模板进行，过程推演。只是把check的那个if语句写成，a[mid]<=x，和l和r取值做出相应的改变如下

int l = 0, r = n - 1; while (l < r) { int mid = l + r >> 1; if (a[mid]<=x) l=mid; else r = mid-1; }

照常，我们取mid，接着我直接过度到最后，只有两个元素的情况，即l+1=r。因为问题就是出现在这里。

还是三种情况。

1. l=x，r！=x，则x<r；

那么折半后，mid=l，满足if情况，那，l=mid；依旧是l+1=r，之后就是死循环。

2. l！=x，r=x,l<x；

那么折半后，mid=l，满足if情况，那，l=mid；，之后死循环循环。

3. l=x，r=x,l=r=x；

那么折半后，mid=l，满足if情况，那，l=mid；，之后死循环。

总之，不管如何，总会出现死循环。导致这个模板出问题。

那么为什么会出现这个问题呢？

原因就在（l+r）/2这里，因为计算机是向下取整，导致，每次取得都是mid=l。

导致，每次都是满足if情况，而无法有效的更改l。

为了解决这个死循环问题。

就有的两种模板，还有一种模板我没有吃透，故不列出。

1号模板

最大位置1

int l = 0, r = n - 1; while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (a[mid] <= x) l = mid; else r = mid - 1; }

可以看到，对mid的取值方式进行了改动。

因为死循环主要是不能向上取整导致的，所以我们给它加上个1，就可以在，l+1=r的时候，使得mid=r了；

那么再进行那三种情况的演算，就可以得到正确答案了。

这里不再累述，可以翻上去对照着算。

2号模板

最大位置2

int l1 = l, r1 = n; while (l1 + 1 < r1) { int mid = l1 + r1 >> 1; if (a[mid] <= x) l1 = mid; else r1 = mid; }

这里，改动了两处，循环条件和l，r的赋值。

死循环，是因为两个相邻的元素，取mid的时候，出现的问题。

那么，我们可以使得l，r在最后不相邻，就可以解决问题。

前面，我有提到，我们的l，r是闭区间。这里我们就可以采取左闭右开的区间。

即，r值是取不到。真实的有序区间是l到r-1；

那么当l+1=r的时候，说明就已经到最后一个值了，跟前面的1号模板，的l=r是等价的。

而这里因为，是开一侧的区间，就杜绝了相邻的情况。

这里进行演算一下。

取mid，如果满足if，说明在x的左边，因为有（=），所以可能mid==x，所以，就不+1，直接l=mid；

如果满足else，则说明在x的右边，比x大；且没有（=），本该r=mid-1的。

但r是开放的一侧，是取不到的，则r=mid。

我们再来到，最后时刻，就是只有两个元素的时候。

此时，l+2=r。

mid=（l+r）/2，为l，r中间的值rt；

也就是1号模板中的r了。即最右边的值。

再对照那三种情况

1. l=x，rt！=x，则x<r；

那么折半后，mid=rt，满足else情况，那r=rt，因为循环条件为l+1<r,此时，循环就停止了，正确值为l；

2. l！=x，rt=x,l<x；

那么折半后，mid=rt，满足if情况，那，l=mid；，循环停止，正确值为l。

3. l=x，rt=x,l=rt=x；

那么折半后，mid=rt，满足if情况，那，l=rt；，之后循环停止，正确值为l。

那么为什么，肯定，l就是最大位置呢。这里，三种情况的第三个情况，最能说明问题。当有多个x，总是能取到最右边的那个元素。

进而确定最大位置。

二分特性

使用二分需要满足两个条件。一个是有界，一个是单调。

对于check函数，其作用就是对mid进行检验是否满足条件。

再根据这个结果去调制区间端点。

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