《趣学算法》笔记 4.2 最长公共序列

众多算法中，动态规划是比较难的算法，难在递归式！一旦得到递归式 ，算法就已经实现99%，剩下的是程序实现问题。

分析原问题最优解和子问题最优解的关系。考查有多少种选择。得到最优解递归式。  
以上的理解请不要陷入细节，更多的理解请从实际的案例中体会。问题的重复求解是动态规划提升的关键。

一、问题引入

 本题是动态规划算法经典例题。在解决问题之前，让我们回顾解题步骤，然后来一步一步实现。

1.分析最优解的结构特征

解决LCS问题，需要把原问题分解成若干个子问题，所以需要刻画LCS的特征。

       设A=“a0，a1，…，am”，B=“b0，b1，…，bn”，且Z=“z0，z1，…，zk”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
       如果am=bn，则zk=am=bn，且“z0，z1，…，z(k-1)”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列；
       如果am!=bn，则若zk!=am，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，bn”的一个最长公共子序列；
       如果am!=bn，则若zk!=bn，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，am”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列。
或者直接看图（来自优快云博主「Running07」，博文链接在最后哦）：

举个栗子（S1={1,3,4,5,6,7,7,8}和S2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}），并结合上图来看：

       假如S1的最后一个元素 与 S2的最后一个元素相等，那么S1和S2的LCS就等于 {S1减去最后一个元素} 与 {S2减去最后一个元素} 的 LCS  再加上 S1和S2相等的最后一个元素。

       假如S1的最后一个元素 与 S2的最后一个元素不等（本例子就是属于这种情况），那么S1和S2的LCS就等于 ： {S1减去最后一个元素} 与 S2 的LCS， {S2减去最后一个元素} 与 S1 的LCS 中的最大的那个序列。
 

2.建立最优值的递归式。(也可以称为决策策略)

首先，问题来了，如何建立最优值的递推式？

1. 定义最优子问题 确定问题的优化目标
2. 定义状态 决策的结果(状态) 最终的结果(状态)就是最终解
3. 定义决策和状态转换方程 状态递增的表达式(不一定是数学表达式)
4. 确定边界条件 实际上就是递归终结条件，无需额外的计算

    具体步骤在这里，爷突然发现写博客想面面俱到的讲清楚每一个好难，爷教不会你们了，爷还是老老实实写读书笔记给自己吧QAQ

 3.自底向上计算最优值，并记录

 

4.构造最优解

 

部分内容参考了这些博客，致谢！指路：

https://so-far-cloud.blog.youkuaiyun.com/article/details/78597963

优快云博主「Running07」的这个图解特别详细