代码随想录day48 | 动态规划P9 | 打家劫舍● 198.● 213.● 337.

198.打家劫舍 

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

思路

动态规划五步曲

        1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

        2. 确定递推公式

决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。

如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考 虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房，这是很多同学容易混淆的点）

然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

        3.dp数组如何初始化

从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]

从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

        4.确定遍历顺序

dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

        5.举例推导

代码

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        //dp[n] 考虑下标n（包括n）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[n]。
        // dp[i] = max(dp[i-1], dp [i - 2] + nums[i]);
        int [] dp = new int [nums.length];
        if(dp.length == 1) return nums[0];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
        for(int i = 2; i < dp.length ; i++){
            dp[i] = Math.max(dp [i - 2] + nums[i], dp[i-1]);
        }
        return dp[nums.length-1];
    }
}

优化空间:

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        //dp[n] 考虑下标n（包括n）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[n]。
        // dp[i] = max(dp[i-1], dp [i - 2] + nums[i]);
        int [] dp = new int [2];
        if(nums.length == 1) return nums[0];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
        for(int i = 2; i < nums.length ; i++){
            int cur =  Math.max(dp [0] + nums[i], dp[1]);
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = cur;
        }
        return dp[1];
    }
}

213.打家劫舍II  

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：4
解释：你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 3：

输入：nums = [1,2,3]
输出：3

思路

动态规划

本题与 lc198.的唯一区别在于 成环了

而对于一个数组, 成环的话主要有如下三种情况：

        ①：考虑不包含首尾元素

        ②：考虑包含首元素, 不包含尾元素

        ③：考虑包含尾元素, 不包含首元素

注意我这里用的是"考虑"，例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。

而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。

分析到这里，本题其实比较简单了。 剩下的和198.打家劫舍 (opens new window)就是一样的了。

代码

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if(nums.length == 1) return nums[0];
        int len = nums.length;
        return Math.max(findMax(nums,0,len-1), findMax(nums, 1, len));
    }
    //常规打家劫舍思路
    public int findMax (int [] nums, int start, int end){
        // [start, end) 区间 若可选长度为 1 则直接返回
        if (end - 1 == start) return nums[start];
        int [] dp = new int [2];
        dp[0] = nums[start];
        dp[1] = Math.max(nums[start], nums[start + 1]);
        for(int i = start + 2; i < end; i++){
            int cur = Math.max(dp[1], dp[0] + nums[i]);
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = cur;
        }
        return dp[1];
    }
}

337.打家劫舍III

小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。

除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。

给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。

示例 1:

输入: root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出: 7 
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7

示例 2:

输入: root = [3,4,5,1,3,null,1]
输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 4 + 5 = 9

思路

递归+记忆化

对于树的话，首先就要想到遍历方式，前中后序（深度优先搜索）还是层序遍历（广度优先搜索）。

本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。

与198.打家劫舍，213.打家劫舍II一样，关键是要讨论当前节点抢还是不抢。

如果抢了当前节点，两个孩子就不能动，如果没抢当前节点，就可以考虑抢左右孩子（注意这里说的是“考虑”）

        暴力递归

class Solution {
    //暴力递归, 超时
    public int rob(TreeNode root) {
        //必须是后序遍历, 因为需要利用左右子树的返回值
        if(root == null) return 0;


        //偷 root节点与root的四个孙子（左右孩子的孩子）
        int money = root.val;
        if(root.left != null) money += rob(root.left.left) + rob(root.left.right);
        if(root.right != null) money += rob(root.right.left) + rob(root.right.right);

        //偷root节点的左右孩子节点; 选择最优值
        return Math.max(money, rob(root.left) + rob(root.right));
    }
}

代码超时了，这个递归的过程中其实是有重复计算了。

我们计算了root的四个孙子（左右孩子的孩子）为头结点的子树的情况，又计算了root的左右孩子为头结点的子树的情况，计算左右孩子的时候其实又把孙子计算了一遍。

所以可以使用一个map把计算过的结果保存一下，这样如果计算过孙子了，那么计算孩子的时候可以复用孙子节点的结果。记忆化递推

动态规划 + 树形dp

在上面两种方法，其实对一个节点 偷与不偷得到的最大金钱都没有做记录，而是需要实时计算。

而动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。

这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移，我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲，那么下面我以递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行讲解。

        1.确定递归函数的参数和返回值

这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。

参数为当前节点，代码如下：

    public int[] robAction(TreeNode root){

其实这里的返回数组就是dp数组。

所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。

所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！

那么有同学可能疑惑，长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢？

别忘了在递归的过程中，系统栈会保存每一层递归的参数。

如果还不理解的话，就接着往下看，看到代码就理解了哈。

        2.确定终止条件

在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回

        if(root == null) return new int [2];

这也相当于dp数组的初始化

        3.确定遍历顺序

首先明确的是使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。

通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。

通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。

代码如下：

        // 下标0：不偷，下标1：偷
        int [] left = robAction(root.left);
        int [] right = robAction(root.right);
        //中

        4.确定单层递归的逻辑

如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，res[1] = root.val + left[0] + right[0];（如果对下标含义不理解就再回顾一下dp数组的含义）

如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：res[0] = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);

最后当前节点的状态就是{res[0], res[1]}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}

代码如下：

        int [] res = new int [2];
        // 下标0：不偷，下标1：偷
        int [] left = robAction(root.left);
        int [] right = robAction(root.right);
        
        // 中
        //不取当前节点, 那么考虑其左孩子与右孩子,选择其中最大的
        res[0] = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);

        //取当前节点, 那么左右孩子就不能偷
        res[1] = root.val + left[0] + right[0];

        return res;

        5.举例推导dp数组

以示例1为例，dp数组状态如下：（注意用后序遍历的方式推导）

最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱。

代码

递归 + 记忆化

class Solution {
    //递归 + 记忆化  2ms
    private HashMap<TreeNode, Integer> hs = new HashMap<TreeNode, Integer>();
    public int rob(TreeNode root) {
        //必须是后序遍历, 因为需要利用左右子树的返回值
        if(root == null) return 0;
        if(hs.containsKey(root)) return hs.get(root);
        if(root.left == null && root.right == null) return root.val;

        //偷 root节点与root的四个孙子（左右孩子的孩子）
        int money = root.val;
        if(root.left != null) money += rob(root.left.left) + rob(root.left.right);
        if(root.right != null) money += rob(root.right.left) + rob(root.right.right);

        //偷root节点的左右孩子节点; 选择最优值
        int res = Math.max(money, rob(root.left) + rob(root.right));
        //记忆化, 记录当前的结果,以免重复计算
        hs.put(root, res);
        return res;
    }
}

动态规划 + 树形dp

class Solution {
    //动态规划 + 树形dp
    public int rob(TreeNode root) {
        int [] res = robAction(root);
        // res[0] 表示不偷当前节点的最大金额 res[1]表示偷当前节点的最大金额
        return Math.max(res[0], res[1]);
    }
    public int[] robAction(TreeNode root){
        //递归终止 0,0
        if(root == null) return new int [2];

        int [] res = new int [2];
        // 下标0：不偷，下标1：偷
        int [] left = robAction(root.left);
        int [] right = robAction(root.right);
        
        // 中
        //不取当前节点, 那么考虑其左孩子与右孩子,选择其中最大的
        res[0] = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);

        //取当前节点, 那么左右孩子就不能偷
        res[1] = root.val + left[0] + right[0];

        return res;
    }
}