最大堆、最小堆的构造，利用堆实现数组排序的C++代码

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本文介绍了堆的数据结构，包括最大堆和最小堆的概念，并详细阐述了如何使用C++构造堆和实现堆排序的过程。通过自底向上的策略调整二叉树，确保堆满足最大堆或最小堆的性质，最后讨论了堆排序的实现原理。

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一、什么是堆？

堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

简单点说堆就是满足特定条件的完全二叉树，这里的“特定条件”分两种：即要么这棵树所有的节点都不大于（小于等于）其根节点（如果有）的值，如下图所示就称为最大堆。
在这里插入图片描述

要么这棵树所有的节点都不小于（大于等于）其根节点的值，如下图所示的称为最小堆。

在这里插入图片描述
一句话，对于一颗完全二叉树，根节点总最大时叫最大堆，根节点总最小时叫最小堆。

二、如何构造一个堆

以构建最大堆为例，为了方便起见，不妨用一个一维数组来表示一颗完全二叉树，例如：

int heap[] = {
    16,4,10,14,7,9,3,2,8,1 };

已知heap是一个完全二叉树，自然能够画出它的等效结构：

在这里插入图片描述
显然heap不是最大堆，为了使其满足最大堆结构，我们需要对二叉树的结构进行调整。

为了保证每次调整都向最大堆的目标更进一步，我们应当对整棵树调整。我们采取自下而上的策略调整二叉树（为什么不是自上而下呢？）。

具体思路是：1.对于除了叶子节点外的任一节点A，假设其两个孩子节点分别为B、C，如果A的值不是最大的，则将节点A和最大的那个节点（B或者C）交换。考虑到A节点被下放之后可能会影响已经调整好的子树（如果A不是叶子结点），我们应当做好后续收尾工作——对A的当前位置重复上一步的操作（即递归），直到A已经是最大数值时调整完毕。

第一个小目标：实现一颗最小子树的调整。需要注意我们已经选择了自下而上的策略，当对根节点A进行操作时，它的两个左右子树都已经满足最大堆的条件，需要做的就是将A放到合适的位置以及处理好一旦A下沉给底层带来的那些新问题。

void MaxHeapIFY(int *heap,int index,int heap_size)
{
   //寻找当前节点和其左右孩子中的最大值并交换,因为实际是自下而上操作,所以默认当前节点的左右子树都已是最大堆
	int left = 2 * index + 1;
	int right = left + 1;
	int largest = index;
	if (left < heap_size && heap[left]>heap[index]) // not out of index
		largest = left;
	if (right<heap_size && heap[right]>heap[largest])
		largest = right;
	if (largest != index) // 交换最大节点
	{
   
		int temp = heap[largest];
		heap[largest] = heap[index];
		heap[index] = temp;
		//如果当前堆发生改变，则递归地操作后续堆以适应最大堆结构
		MaxHeapIFY(heap, largest, heap_size);
	}
}

2.自底向下调用第一步的函数对整棵树进行调整，这里需要注意的细节是叶子结点在数组中的下标为heap_size/2-1

void BuildMaxHeap(int* heap,int heap_size)
{
   
	for (int i = (heap_size) / 2 - 1; i >= 0; i--)
	{
   
		MaxHeapIFY