算法效率评估-优快云博客

本文部分取自搜狗百科
在求算法效率时，通常有事前分析和事后分析两种方法，事后分析因为必须实际检验过后才能得出答案，且可能由于硬件方面等外部原因影响结果而不被推广，事前分析的主要就是在考量一个算法的基本执行次数，这就是时间复杂度。
##时间复杂度：
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 )，简称时间复杂度。

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

计算时间复杂度的基本规则 ：     
1 ，计算出基本操作的执行次数 T（n)(考虑最坏情况）
2，计算T(n)的数量级（去除常数项，低次幂和最高次幂的系数）
3,用大O表示时间复杂度。

tips：
1、取决于执行次数最多的语句，如当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。

2、如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

3、算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规模，还与输入实例的初始状态有关。

4，递归算法的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归基本操作的执行次数

空间复杂度
空间复杂度(SpaceComplexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间，包括存储算法本身所占用的存储空间，算法的输入输出数据所占用的存储空间和算法在运行过程中临时占用的存储空间这三个方面。
时间复杂度与空间复杂度往往不能“双赢”，意思就是时间复杂度小的算法一般会占用较多的空间，而空间复杂度小的算法一般运行时间也较长，这也是“用空间换时间”等说法的由来。
递归算法的空间复杂度 = 递归深度 * 每次递归需要开辟的空间。

int binarysearch(int *p, int x,int size)//二分查找非递归
{
	assert(p);
	int low = 0;
	int high = size - 1;
	while (low <= high)
	{
		int mid = low + ((high - low) >> 1);
		if (p[mid] == x)
		{
			return mid;
		}
		else if (x < p[mid])
		{
			high = mid - 1;
		}
		else
		{
			low = mid + 1;
		}
	}
	printf("search was failed");
	return -1;

}

int binarysearch(int p[], int low, int high, int x)//二分查找递归
{
	if (low <= high)
	{
		int mid = low + ((high - low) >> 1);
		if (p[mid] == x)
		{
			return mid;
		}
		else if (x > p[mid])
		{
			binarysearch(p, mid + 1, high, x);
		}
		else
		{
			binarysearch(p, low, mid - 1, x);
		}
	}
	else
	{
		printf("search was failed");
		return -1;
	}
}

以上两段代码分别是二分查找的非递归算法和递归算法。现在来分析一下他们的时间复杂度和空间复杂度。

这里写图片描述

非递归算法中，每次都会舍弃一半的数据，最坏情况就是n/(2^x)=1;则 x=log n，O（log n）就是他的时间复杂度，而空间复杂度上因为每次只开辟有限个空间，所以空间复杂度是O(1).
在递归算法中，时间复杂度=递归的次数 * 每次递归基本操作的执行次数，递归次数为log n，每次执行次数为1，故时间复杂度为O（log n）。空间复杂度=递归深度 * 每次递归开辟的空间。
递归深度为log n，每次开辟为4个，故空间复杂度=O（log n）。

再比如求斐波那契数列的第n项，

递归算法：
int fib1(int n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return 1;
return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}

非递归算法：
int Fib(int n)
{
if (n == 1 || n == 2)
{
return 1;
}
int first = 1;
int second = 1;
int ret = 0;
for (int i = 2; i < n; i++)
{
ret = first + second;
first = second;
second = ret;
}
return ret;
}

递归算法中时间复杂度是O(2^n)，空间复杂度是O(n)。
非递归算法中时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。（循环为n-1次）